mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 1:20 am**

Είχα σκοπό να την ανεβάσω αύριο ή κάποια από αυτές τις ημέρες, αλλά η χαρά μου ήταν μεγάλη και δεν ... κρατήθηκα...

Είναι λοιπόν μιά άσκηση την οποία κατασκεύασε ένας μαθητής μου (Παναγιώτης Κεφαλάς) προχωρώντας μία κουβέντα του μαθήματος...

Σας παρακαλώ να την αξιολογήσετε όπως της αρμόζει, μιας και είναι η πρώτη του κατασκευή :

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_ + ^* }$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ της οποίας το γράφημα δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε κανένα σημείο του Πεδίου Ορισμού της. Έστω ακόμα δύο πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha < \beta }$ για τους οποίους γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{f\left( \alpha \right) = 1}$ και $\displaystyle{f\left( \beta \right) = e^{k\pi } ,k \in \mathbb{Z}^* }$ . Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \exists \xi \in \left( {\alpha ,\beta } \right): }$
$\displaystyle{ \sin \left( {\ln \left( {f\left( \xi \right)} \right)} \right) + \cos \left( {\ln \left( {f\left( \xi \right)} \right)} \right) = 0 }$

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων και καληνύχτα σας...

Θωμάς

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 2:59 am**

...και γιά την χαρά του δάσκαλου για τον μαθητή του...

Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=\sin (\ln (f(x))-\cos (\ln (f(x)),\,\,\,x\in [a,\,b]$ που είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=\cos (\ln (f(x))\frac{{f}'(x)}{f(x)}+\sin (\ln (f(x))\frac{{f}'(x)}{f(x)}=\left( \cos (\ln (f(x))+\sin (\ln (f(x)) \right)\frac{{f}'(x)}{f(x)}$ (1) και

$g(\alpha )=\sin (\ln (f(\alpha ))-\cos (\ln (f(\alpha ))=\sin 0-\cos 0=-1$ και

$g(\beta )=\sin (\ln (f(\beta ))-\cos (\ln (f(\beta ))=\sin (\kappa \pi )-\cos (\kappa \pi )=-1$ αφού $\kappa \ne 0$

οπότε $g(\alpha )=g(\beta )=-1$ και σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\,\,\beta )$ ώστε ${g}'(\xi )=0$

και επειδή ${f}'(x)\ne 0$ από υπόθεση από (1) προκύπτει $\cos (\ln (f(\xi ))+\sin (\ln (f(\xi ))=0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 3:45 am**

Μπράβο. Πολύ όμορφη και πρωτότυπη......Μια ερώτηση μόνο. H εικόνα του $\beta$ δεν πρέπει να είναι μοναδική;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 10:08 am**

pana1333 έγραψε: Μπράβο. Πολύ όμορφη και πρωτότυπη......Μια ερώτηση μόνο. H εικόνα του $\beta$ δεν πρέπει να είναι μοναδική;

Προφανώς ΝΑΙ ! αφού σε διαφορετική περίπτωση η

θα ικανοποιούσε το Θεώρημα Rolle δηλαδή θα είχε οριζόντια εφαπτομένη πράγμα που αντίκειται στην υπόθεση ... Ευχαριστούμε Χρήστο Βέβαια αν θεωρήσουμε ότι το

είναι μοναδικό δηλαδή συγκεκριμένο, τότε όλα είναι καλά, έ ;;;

Έτσι τροποποιείται η υπόθεση ως εξής $f(\beta)=e^ \pi$ και όλα πιά είναι καλά...

Ξεκινώ μάθημα... Η κατασκευή ξεκίνησε από μία παράγουσα του μαθήματος ... θα τα πούμε μόλις τελειώσω... δηλαδή το βράδυ κατά τις 11

Βασίλη ευχαριστώ θερμά και

προφανώς

Καλημέρα σας

Θωμάς

Edit

Η λύση του μαθητή είναι διαφορετική και θα δοθεί το βράδυ...

Καλημέρα ξανά...

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 10:49 am**

Καλημέρα σε όλους

Θα ήθελα να τονίσω πώς αν το

είναι άρτιος τότε το $cos(2\pi)=1$

αλλίώς για $k=2m+1\Rightarrow cos[(2m+1)\pi]=-1$ ,και άρα το δεδομένο $f(\beta)=e^{k\pi},k\in Z^{*}$

είναι τελείως λάθος .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 12:37 pm**

Διονύση στα πεταχτά ανάμεσα στα μαθήματα,

Ο μαθητής μου προτείνει Rolle στην $\displaystyle{ \Phi \left( x \right) = f\left( x \right)\sin \left[ {\ln \left( {f\left( x \right)} \right)} \right] }$
Νομίζω σε αυτήν το δεδομένο $\displaystyle{ f\left( \beta \right) = e^{k\pi } }$
με

σταθερό μη μηδενικό ακέραιο είναι οκ...αφού $\displaystyle{ \Phi \left( \beta \right) = f\left( \beta \right)\sin \left[ {\ln e^{k\pi } } \right] = f\left( \beta \right)\sin \left[ {k\pi } \right] = 0 }$
... εκτός αν δεν βλέπω κάτι...

Θα την ξαναδώ και θα τα πούμε το βράδυ

Ευχαριστώ πολύ πάντως

Απίστευτα βιαστικός ... Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 1:45 pm**

Καλημέρα. Καταρχήν να τονίσω ότι η άσκηση του Παναγιώτη είναι "ωραιότατη" και σε καμία περίπτωση δε "μειώνεται" με τις επισημάνσεις που γίνονται. Το αντίθετο θα έλεγα. Συνοψίζω λίγο τις απαντήσεις για να μη χαθούμε.....

dennys έγραψε:Καλημέρα σε όλους

Θα ήθελα να τονίσω πώς αν το είναι άρτιος τότε το $cos(2\pi)=1$

αλλίώς για $k=2m+1\Rightarrow cos[(2m+1)\pi]=-1$ ,και άρα το δεδομένο $f(\beta)=e^{k\pi},k\in Z^{*}$

είναι τελείως λάθος .

Νομίζω ότι η πολύ όμορφη του Βασίλη έχει πρόβλημα αν δε θεωρήσουμε ως δεδομένο την επισήμανση του Διονύση.

Σύμφωνα με τη λύση του Παναγιώτη όμως

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:Διονύση στα πεταχτά ανάμεσα στα μαθήματα,

Ο μαθητής μου προτείνει Rolle στην $\displaystyle{ \Phi \left( x \right) = f\left( x \right)\sin \left[ {\ln \left( {f\left( x \right)} \right)} \right] }$
Νομίζω σε αυτήν το δεδομένο $\displaystyle{ f\left( \beta \right) = e^{k\pi } }$
με σταθερό μη μηδενικό ακέραιο είναι οκ...αφού $\displaystyle{ \Phi \left( \beta \right) = f\left( \beta \right)\sin \left[ {\ln e^{k\pi } } \right] = f\left( \beta \right)\sin \left[ {k\pi } \right] = 0 }$

η επισήμανση του Διονύση συμφωνώ με το Θωμά πως δε χρειάζεται.

Εμένα η βασική μου ένσταση είναι κατά πόσο μπορόυμε να γράψουμε $f\left(\beta \right)=e^{\kappa \pi },\kappa \epsilon Z^{*}$ διότι η συνάρτηση

για $x=\beta$ δεν θα έχει μοναδική εικόνα. Τι λέτε;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 2:33 pm**

Πάλι μέσα από το μάθημα, Χρήστο, δεν καταλαβαίνω αν το

είναι σταθερός αριθμός, τότε η εικόνα του $\beta$ δεν είναι μοναδική ;;;

Είμαι μέσα στο μάθημα, θα την ξαναδώ το βράδυ

Να είσαι καλά !

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 3:24 pm**

pana1333 έγραψε: Εμένα η βασική μου ένσταση είναι κατά πόσο μπορόυμε να γράψουμε $f\left(\beta \right)=e^{\kappa \pi },\kappa \epsilon Z^{*}$ διότι η συνάρτηση για $x=\beta$ δεν θα έχει μοναδική εικόνα. Τι λέτε;

Καλησπέρα.
Εγώ θα πω πως πολύ απλά αυτή η έκφραση στερείται νοήματος. Πρόκειται δηλαδή για μια σταθερή αλλά και...μεταβλητή ποσότητα που εξαρτάται από την τιμή του ακεραίου

;
Αν ήταν $f\left( x \right)=e^{\kappa \pi },\kappa \epsilon Z^{*}, \forall x \in \mathbb{R}$ θα καταλάβαινα πως πρόκειται για οικογένεια σταθερών συναρτήσεων.

Τώρα απλά καταλαβαίνω πως πρόκειται για οικογένεια σταθερών τιμών πάνω σε κάποια οικογένεια συναρτήσεων;;

Συμφωνώ με τα λεγόμενα του Χρήστου.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 6:32 pm**

Ρε παιδιά, (Χρήστο και Χρήστο) δεν μπορεί να είναι $f(\beta) = e^{2012 \pi}$ τη μία χρονιά και $f(\beta) = e^{2013 \pi}$ την άλλη χρονιά και $f(\beta) = e^{2014 \pi}$ την άλλη και $f(\beta) = e^{2015 \pi}$ την άλλη ... δεν καταλαβαίνω ... Στην εκφώνηση που ανέβασα το

απλά μπορεί να είναι οτιδήποτε... Εννοώ ότι μπορεί να είναι οποιαδήποτε ΣΤΑΘΕΡΗ ακέραια τιμή...

Είμαι μέσα στο μάθημα και δεν μπορώ άλλο... Θα τα ξαναπούμε το βράδυ για την περίπτωση που το βλέπω στραβά... και σορρυ αν είναι έτσι

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 7:17 pm**

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:Ρε παιδιά, (Χρήστο και Χρήστο) δεν μπορεί να είναι $f(\beta) = e^{2012 \pi}$ τη μία χρονιά και $f(\beta) = e^{2013 \pi}$ την άλλη χρονιά και $f(\beta) = e^{2014 \pi}$ την άλλη και $f(\beta) = e^{2015 \pi}$ την άλλη ... δεν καταλαβαίνω ... Στην εκφώνηση που ανέβασα το απλά μπορεί να είναι οτιδήποτε... Εννοώ ότι μπορεί να είναι οποιαδήποτε ΣΤΑΘΕΡΗ ακέραια τιμή...

Είμαι μέσα στο μάθημα και δεν μπορώ άλλο... Θα τα ξαναπούμε το βράδυ για την περίπτωση που το βλέπω στραβά... και σορρυ αν είναι έτσι

Θωμάς

Εγώ δε διαφωνώ με όλα αυτά που λες. Απλά ρωτώ και επαναλαμβάνω την ερώτηση του Χρήστου. Είναι η ίδια συνάρτηση κάθε χρονιά ή άλλη;
Γιατί αν είναι η ίδια έχουμε πρόβλημα. Αυτό είναι νομίζω το ζουμί της επισήμανσης του Χρήστου.
Συμπλήρωση: Όταν λες

ακέραια σταθερά καταλαβαίνεις κι εσύ πως αυτομάτως ορίζεις μία οικογένεια.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 8:00 pm**

Χρήστο αυτό εννοώ.....

Θωμά δεν μπορεί να είναι η ίδια συνάρτηση. Δεν μπορεί το f(2)

τη μία να ισούται για παράδειγμα με 3 την άλλη με 4 και την άλλη με 5. Η τιμή της συνάρτησης για x=2

είναι μοναδική. Εκτός όπως λέει ο Χρήστος αν μιλάς για οικογένεια συναρτήσεων.

Διαφορετικά για να χρησιμοποιήσω και το παράδειγμά σου, είναι σαν να λέμε ένα κινητό κινείται σε ευθεία και φέτος ενώ διέρχεται από το σημείο $(\beta,2012)$ του χρόνου θα διέρχεται κινούμενο στην ίδια ευθεία από το $(\beta,2013)$ . Δεν γίνεται. Προφανώς θα κινείται σε άλλη ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 8:26 pm**

Να με συγχωρέσεις αγαπητέ Χρήστο (Κανάβη) αλλά γνωρίζω τον ορισμό της συνάρτησης εδώ και 34 χρόνια! τουλάχιστον...

Ξαναλέω - πάλι μέσα από το μάθημα - ότι όταν λέω ότι η τιμή της

στο $\beta$ είναι ίση με $e^{k \pi}$ με

μία ακέραια σταθερά, εννοώ ότι μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αλλά ένας αριθμός.... Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω τι δεν καταλαβαίνετε... ειλικρινά όμως...

Αυτό που ήθελα να πω ήταν ότι στην άσκηση η τιμή της

στο $\beta$ θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε της μορφής $e^{k \pi}$ , αλλά ΜΙΑ προφανώς αφού λέω ότι το

είναι σταθερά ακέραια...

Θα τα ξαναπούμε

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 8:30 pm**

Προφανώς αφού $f(\beta)$ σταθερός και $f(\beta)=e^{k\pi}$ συνεπάγεται ότι $e^{k\pi}$ σταθερός που είναι άτοπο αφού ο

τρέχει το σύνολο των ακεραίων άρα έχουμε λάθος υπόθεση.
Φιλικά,
Δημήτρης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 8:34 pm**

Θωμά καλησπέρα , θυμήσου τι έγραφε ο μεγάλος δάσκαλος Κυριακόπουλος κάτω-κάτω εκεί που γράφονται

οι μεγάλες κουβέντες.Ο πονηρός δικαιολογείται .......

Θα ήθελα να σού πώ πάντα φιλικά ,άλλωστε δεν έχουμε και να χωρίσουμε τίποτα. Ο μαθητής έκανε λάθος ,τι δεν καταλαβαίνεις?

Προσπαθεί ο γάτος τόση ώρα να σου πεί , το προφανές και σύ εκεί, όταν λές $k\in Z$ σημαίνει οποιοδήποτε κ και όχι ενα σταθερό ακέραιο

αριθμό.Δηλ. για να πύμε k=3

γράφουμε $k\in N$

Δηλ. $f(x)=kx k\in N,$ είναι πολλές ευθείες που περνάν απο την αρχή των αξόνων,και οχι μια συγκεκριμένη ευθεία .

Aυτά και καλή συνέχεια, γιατί όλο διακόπτεις το μάθημα και θα σε μαλώσουν οι μαθητές σου.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 8:41 pm**

dennys έγραψε:...Aυτά και καλή συνέχεια, γιατί όλο διακόπτεις το μάθημα και θα σε μαλώσουν οι μαθητές σου.

Πετάγομαι ξανά για να συμφωνήσω με αυτό. Πάνω απ'όλα οι μαθητές.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 8:46 pm**

Μια παραλλαγή στην όμορφη άσκηση του Παναγιώτη .

Η συνάρτηση $f:\left[ {a,b} \right] \to \left( {0, + \infty } \right)$ είναι συνεχής με $f\left( a \right) = 1$ και υπάρχει $k \in {N^ * }$ ,ώστε $f\left( b \right) = {e^{k\pi }}$ .Ν.Δ.Ο. υπάρχει $\xi \in \left( {a,b} \right)$ ,ώστε $\sin \left( {\ln \left( {f\left( \xi \right)} \right)} \right) + \cos \left( {\ln \left( {f\left( \xi \right)} \right)} \right) = 0$ .
Ν.Ζ.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 9:08 pm**

nikoszan έγραψε:Μια παραλλαγή στην όμορφη άσκηση του Παναγιώτη .

Η συνάρτηση $f:\left[ {a,b} \right] \to \left( {0, + \infty } \right)$ είναι συνεχής με $f\left( a \right) = 1$ και υπάρχει $k \in {N^ * }$ ,ώστε $f\left( b \right) = {e^{k\pi }}$ .Ν.Δ.Ο. υπάρχει $\xi \in \left( {a,b} \right)$ ,ώστε $\sin \left( {\ln \left( {f\left( \xi \right)} \right)} \right) + \cos \left( {\ln \left( {f\left( \xi \right)} \right)} \right) = 0$ .
Ν.Ζ.

Καλησπέρα Νίκο. Προφανώς $k\ge 1$ και τότε $\displaystyle{f(a)=1<e^{\frac{3\pi}{4}} <e^{\pi}\le e^{k\pi}=f(b)}$ .
Επομένως ενεργοποιώντας το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει $\xi \in (a,b)$ με $\displaystyle{f(\xi)=e^{\frac{3\pi}{4}}}.$

Τα υπόλοιπα νομίζω πως είναι απλά.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 11:23 pm**

Αφαιρέθηκε για το λόγο ότι ανέβηκε από λάθος πριν ολοκληρωθεί ...

Σε λίγο ...

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 27, 2012 11:24 pm**

Λάθος κλικ !!! Θα ολοκληρωθεί σε λίγο

mathematica.gr

Θωμική-8

Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8

Re: Θωμική-8