mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 28, 2012 6:08 pm**

Έστω

ένας ακέραιος. Να δείξετε ότι ο αριθμός x^5 + x + 1

διαιρείται με δύο τουλάχιστον διαφορετικούς πρώτους.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 28, 2012 7:46 pm**

=

Άρα είναι σύνθετος αριθμός και αφού λύνοντας την εξίσωση x^3-x^2+1=x^2+x+1

δεν έχει ακέραιες λύσεις για x>1

είναι και διαφορετικοί πάντα. Άρα στο γινόμενο θα υπάρχουν και 2 τουλάχιστον διαφορετικοί πρώτοι που θα διαιρούν οπότε και τον x^5+x+1

.
(Y.Γ : Τους παράγοντες του x^5+x+1

τους βρήκα με μερικά παραδείγματα. )
Φιλικά,
Δημήτρης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 28, 2012 7:48 pm**

socrates έγραψε:Έστω ένας ακέραιος. Να δείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με δύο τουλάχιστον διαφορετικούς πρώτους.

Άμεσο από $\displaystyle{ x^5 + x + 1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 28, 2012 8:02 pm**

Να προσθέσω μια παρατήρηση στην άσκηση.
Αν τα πολυώνυμα
x^2+x+1

,

είχαν μια κοινή ρίζα πρώτου αριθμού δεν θα υπήρχαν 2 διαφορετικοί πρώτοι διαιρέτες του x^5+x+1

αλλά μόνον ένας γιαυτό και η επίλυση της εξίσωσης x^2+x+1=(x^3-x^2+1)^n

είναι αναγκαία . ( Εδώ προφανώς αρκεί να λυθεί η x^2+x+1=x^3-x^2+1=p

για κάποιον πρώτο

. )
Φιλικά,
Δημήτρης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 28, 2012 9:04 pm**

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Να προσθέσω μια παρατήρηση στην άσκηση.
Αν τα πολυώνυμα
,
είχαν μια κοινή ρίζα πρώτου αριθμού δεν θα υπήρχαν 2 διαφορετικοί πρώτοι διαιρέτες του αλλά μόνον ένας γιαυτό και η επίλυση της εξίσωσης είναι αναγκαία . ( Εδώ προφανώς αρκεί να λυθεί η για κάποιον πρώτο . )
Φιλικά,
Δημήτρης

... και η $x^2+x+1=p^m, \ x^3-x^2+1=p^n$