mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 13, 2013 9:15 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x + y)) = xf(y) + g(x) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 13, 2013 10:43 pm**

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (1) για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Η $\displaystyle{(1)}$ με εναλλαγή των μεταβλητών δίνει

$\displaystyle{f(f(x+y))=yf(x)+g(y)}$ $\displaystyle{(2)}$

Από τις $\displaystyle{(1)}$ και $\displaystyle{(2)}$ παίρνουμε

$\displaystyle{xf(y)+g(x)=yf(x)+g(y)}$ $\displaystyle{(3)}$ .

Από την $\displaystyle{(3)}$ για $\displaystyle{y=0}$ παίρνουμε $\displaystyle{g(x)=-f(0)x+g(0)}$ $\displaystyle{(4)}$

Από την $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(f(y))=g(0)=a}$ , άρα η $\displaystyle{(1)}$ γίνεται

$\displaystyle{a=xf(y)+g(x)}$ $\displaystyle{(5)}$

Η $\displaystyle{(5)}$ για $\displaystyle{x=1}$ δίνει $\displaystyle{f(y)=a-f(1)}$ ,

άρα $\displaystyle{f(1)=\frac {a}{2}=c}$ , συνεπώς

$\displaystyle{f(x)=c}$ και $\displaystyle{g(x)=-cx+c}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$

mathematica.gr

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή