mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 24, 2013 6:09 pm**

Έστω τρίγωνο ABC

και

τα μέσα των πλευρών BC, CA, AB.

Οι διάμεσοι AD, BE, CF

τέμνονται στο

Δύο, τουλάχιστον, από τα τετράπλευρα AF SE, BDSF, CESD

είναι εγγράψιμα.
Δείξτε ότι το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 24, 2013 8:31 pm**

socrates έγραψε:Έστω τρίγωνο και τα μέσα των πλευρών Οι διάμεσοι τέμνονται στο
Δύο, τουλάχιστον, από τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα.
Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο .

Έστω τα τετράπλευρα AFSE

και

είναι εγγράψιμα.

Τότε $\widehat {AFE} = \widehat {ASE} = x\;\left( 1 \right)$ από το AFSE

.

$\widehat {AFE} = \widehat {ABC} = x\;\left( 2 \right)$ (εντός εκτός επί τα αυτά)

$\widehat {ASE} = \widehat {ASD} = x\;\left( 3 \right)$ (κατακορυφήν)

$\widehat {BFD} = \widehat {ASD} = x\;$ (από το BFCD

) δηλαδή το τρίγωνο BFD

είναι ισοσκελές, οπότε

$BD = BF \Rightarrow \frac{{BC}}{2} = \frac{{AC}}{2} \Rightarrow BC = AD\;\left( 5 \right)$

Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι $CD = DE \Rightarrow BC = AB\;\left( 6 \right)$

Από $\left( 5 \right),\left( 6 \right) \Rightarrow AB = BC = AC$ δηλαδή το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο.

mathematica.gr

Ισόπλευρο από εγγράψιμα

Ισόπλευρο από εγγράψιμα

Re: Ισόπλευρο από εγγράψιμα