mathematica.gr • Τέλειο τετράγωνο

Σελίδα 1 από 1

Τέλειο τετράγωνο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 09, 2013 2:27 pm

από socrates

Έστω

και

θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο αριθμός m^2 + n^2 − m

m^2 + n^2 − m

να διαιρείται από τον 2mn.

2mn.

Δείξτε ότι ο

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Re: Τέλειο τετράγωνο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 12, 2013 9:20 pm

από achilleas

socrates έγραψε:Έστω και θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο αριθμός να διαιρείται από τον
Δείξτε ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Θα χρησιμοποιήσουμε το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.

Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε πρώτος διαιρέτης του

, στην ανάλυσή του

σε πρώτους παράγοντες, εμφανίζεται σε άρτια δύναμη.

(Εις άτοπο απαγωγή) Έστω

πρώτος διαιρέτης του

και περιττός φυσικός

ώστε

p^k || m

(δηλ. ο

p^k

διαιρεί τον

, αλλά ο $p^{k+1}$ όχι)

Αφού ο

διαιρεί τον n^2

n^2

, ο

p^k

διαιρεί τον n^2

n^2

, κι αφού

περιττός, ο $p^{\frac{k+1}{2}}$ διαιρεί τον

.

Συνεπώς, ο $p^{k+1}$ , ως διαιρέτης του

και του

n^2+m^2

, θα πρέπει να διαιρεί και το

, άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: Τέλειο τετράγωνο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 09, 2014 1:31 am

από Αρχιμήδης 6

socrates έγραψε:Έστω και θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο αριθμός να διαιρείται από τον
Δείξτε ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Πολύ ωραία και σύντομη λύση από τον achilleas αλλά καλό είναι να φανεί και η παρακάτω:

m^2+n^2-m=2mnx

m^2+n^2-m=2mnx

και έστω

d=(m,n)

οπότε

da=m

,

db=n

,

(a,b)=1

,

θετικός ακέραιος , a,b

a,b

θετικοί ακέραιοι.

Οπότε με αντικατάσταση των m,n

m,n

στην αρχική εξίσωση θα γίνει... d^2a^2+d^2b^2-da=2d^2abx

d^2a^2+d^2b^2-da=2d^2abx

da^2+db^2-a=2dabx

Από την τελευταία είναι εμφανές ότι d|a

d|a

καθώς και ότι a|db^2

a|db^2

και αφού

(a,b)=1

τότε

a|d

συνεπώς

a=d

και δεδομένου ότι m=da

m=da

προκύπτει ότι m=d^2

m=d^2