mathematica.gr

1) Να λυθεί το σύστημα



2) Αν οι είναι κορυφές εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με , ας δειχθεί ότι .

Για την πρώτη:

Από την πρώτη σχέση παίρνοντας μέτρα έχουμε και από τη δεύτερη όμοια παίρνουμε δηλαδή . Αντικαθιστώντας στην παραπάνω παίρνουμε τελικά άρα οπότε το σύστημα πλέον γίνεται:



Έτσι η πρώτη σχέση με τη βοήθεια της δεύτερης γίνεται οπότε ή .

Αν τότε (ζεύγος το οποίο δεν ικανοποιεί το σύστημα) ενώ αν , λύνοντας το σύστημα



παίρνουμε τα επιπλέον ζεύγη και τα οποία επίσης ικανοποιούν το σύστημα.

Αλέξανδρος

Edit: Διόρθωση στην κόκκινη λέξη παραπάνω. Ευχαριστώ Μυρτώ.

Για τη δεύτερη:

Είναι γνωστό ότι μεταξύ όλων των n-γώνων που είναι εγγεγραμμένα σε δοσμένο κύκλο, το κανονικό n-γωνο έχει τη μέγιστη περίμετρο.

Συνεπώς επειδή το τετράγωνο έχει μέγιστη περίμετρο στην περίπτωσή μας και μάλιστα ίση με , άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι

που ισχύει.

Αλέξανδρος

cretanman έγραψε:Για τη δεύτερη:

Είναι γνωστό ότι μεταξύ όλων των n-γώνων που είναι εγγεγραμμένα σε δοσμένο κύκλο, το κανονικό n-γωνο έχει τη μέγιστη περίμετρο.

Συνεπώς επειδή το τετράγωνο έχει μέγιστη περίμετρο στην περίπτωσή μας και μάλιστα ίση με , άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι

που ισχύει.

Αλέξανδρος

Μας κάναι ακόμα και το χειρότερο φράγμα, το μήκος του κύκλου που είναι 62,8

Αν τότε (ζεύγος το οποίο ικανοποιεί το σύστημα).

Mάλλον δεν βλέπω κάτι , αλλά πως αυτό το ζεύγος ικανοποιεί το σύστημα αφού τότε ;;;;;