mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 02, 2013 8:41 am**

Δημιούργησα το θέμα αυτό για να ανεβάζω ασκήσεις μιας δυσκολίας και να είναι όλες μαζί

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 02, 2013 8:41 am**

Άσκηση 1η
α) Να δειχθεί ότι $\displaystyle{{\left( {\alpha + \beta } \right)^2} + {\left( {1 - \alpha \beta } \right)^2} = \left( {{\alpha ^2} + 1} \right)\left( {{\beta ^2} + 1} \right)}$

β) Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{{\chi ^2} + \kappa \chi + 1 = \lambda }$ (1) με $\kappa\neq 0 .$
1)Αν η εξίσωση (1) έχει διπλή ρίζα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή του λ και να λυθεί η εξίσωση
2)Να δειχθεί ότι η παράσταση $\displaystyle{{\kappa ^2} + {\lambda ^2}}$ είναι σύνθετος αριθμός (μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο)
3)Αν ισχύει $\displaystyle{{\rm{|2 + \kappa - \lambda | < 1}}}$ να δειχθεί ότι μια από τις λύσεις θα ανήκει στο διάστημα (0,2)

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 02, 2013 8:51 am**

Άσκηση 2η
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = {x^2} + \beta x + \gamma }$ με f(2)=-1

και οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=0

είναι ακέραιοι αριθμοί
α) Να βρεθεί το σύνολο $\displaystyle{{\rm{A = \{ x}} \in {\rm{R| f(x)}} \le {\rm{0\} }}}$
β) Αν η ανισότητα $\displaystyle{{x^2} + 2{\alpha _\nu }x + {S_{2\nu }} + 30 \le 0}$ ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{x \in A}$ με $\displaystyle{{\alpha _1} > 0}$ τότε να βρεθεί ο $\displaystyle{{S_{2013}}}$ της αριθμιτικης προοδου
γ) Έστω το σύνολο $\displaystyle{B = \{ x \in R||2 - x| \le 6\} }$ .Αν A⊂B

και $\displaystyle{\kappa }$ ο ελάχιστος δυνατός ακέραιος να βρεθεί το σύνολο $\displaystyle{{\rm A} - {\rm B}}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 02, 2013 9:03 am**

Άλλες ασκήσεις για τον ίδιο φάκελο εδώ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 05, 2013 4:44 pm**

Άσκηση 3η
Δίνονται ο δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega = \{ \lambda - 4,\lambda - 2,\lambda ,...,\lambda + 32,\lambda + 34\} }$ με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και τα στοιχεία του έχουν άθροισμα 280

α) Να δείξετε ότι τα στοιχεία του $\displaystyle{\Omega }$ αποτελούν αριθμητική πρόοδο
β) Να βρεθεί το $\displaystyle{\lambda }$
γ) Αν $\displaystyle{{\rm A} = \{ \kappa \in \Omega /(\kappa - 2){x^2} + (\kappa + 1)x + \kappa + 1 < 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ } να βρεθεί η πιθανότητα P(A)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 12, 2013 2:34 pm**

Άσκηση 4η
Για τα x,y,z

πραγματικούς αριθμούς ισχύει x+y+z=3

και $\displaystyle{{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9 - 2a}$ .Να βρεθεί η τιμή του

αν η διαφορά ανάμεσα στη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του

είναι ίση με

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 18, 2013 1:33 pm**

Άσκηση 5η
Οι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{27 + \alpha ,555 + \alpha ,1371 + \alpha }$ είναι όλοι τέλεια τετράγωνα.Αν οι τετραγωνικές ρίζες τους είναι αριθμητική πρόοδος να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 18, 2013 1:46 pm**

Άσκηση 5η
Δίνονται οι εξισώσεις $\displaystyle{\begin{array}{l} {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + \alpha x + \beta = 0 }}{\rm{,}}\\ {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + (2\alpha + 1)x + 2\beta + 1 = 0}} \end{array}}$
Αν οι ρίζες τις 2ης είναι αντίστροφες απο τις ρίζες της 1ης να βρεθούν οι τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta }$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 18, 2013 9:07 pm**

sidchris έγραψε:Άσκηση 5η
Δίνονται οι εξισώσεις $\displaystyle{\begin{array}{l} {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + \alpha x + \beta = 0 }}{\rm{,}}\\ {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + (2\alpha + 1)x + 2\beta + 1 = 0}} \end{array}}$
Αν οι ρίζες τις 2ης είναι αντίστροφες απο τις ρίζες της 1ης να βρεθούν οι τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta }$

Αν $\displaystyle{x_1,x_2}$ με $\displaystyle{x_1x_2\ne 0}$ οι ρίζες της 1ης εξίσωσης, τότε η 2η έχει ρίζες $\displaystyle{\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}}$ και από τους τύπους του Vietta ισχύουν:

$\displaystyle{x_1+x_2=-a}$ (1), $\displaystyle{x_1x_2=\beta}$ (2), $\displaystyle{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-2a-1}$ (3), $\displaystyle{\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=2\beta+1}$ (4).

Aν $\displaystyle{\beta=0}$ τότε η 1η έχει ρίζα το $\displaystyle{0}$ επομένως $\displaystyle{\beta \ne 0}$ και έτσι αντικαθιστούμε την (2) στην (4):

$\displaystyle{\frac{1}{\beta}=2\beta+1\Leftrightarrow 2\beta^2+\beta -1=0\Leftrightarrow \beta=-1~\acute{\eta}~\beta=\frac{1}{2}}$ .

H (3) γράφεται ισοδύναμα : $\displaystyle{\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-2a-1\overset{(1),(2)}\Leftrightarrow \frac{-a}{\beta}=-2a-1}$ (5)

$\displaystyle{\bullet}$ Aν $\displaystyle{\beta=\frac{1}{2}}$ από την (5) έχουμε : $\displaystyle{-2a=-2a-1}$ η οποία είναι αδύνατη.

$\displaystyle{\bullet}$ Aν $\displaystyle{\beta=-1}$ από την (5) έχουμε : $\displaystyle{a=-2a-1\Leftrightarrow a=-\frac{1}{3}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 20, 2013 12:25 am**

sidchris έγραψε:Άσκηση 3η
Δίνονται ο δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega = \{ \lambda - 4,\lambda - 2,\lambda ,...,\lambda + 32,\lambda + 34\} }$ με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και τα στοιχεία του έχουν άθροισμα
α) Να δείξετε ότι τα στοιχεία του $\displaystyle{\Omega }$ αποτελούν αριθμητική πρόοδο
β) Να βρεθεί το $\displaystyle{\lambda }$
γ) Αν $\displaystyle{{\rm A} = \{ \kappa \in \Omega /(\kappa - 2){x^2} + (\kappa + 1)x + \kappa + 1 < 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ } να βρεθεί η πιθανότητα

Καλησπέρα.

α)Τα στοιχεία του $\displaystyle{\Omega}$ είναι της μορφής $\displaystyle{\lambda+m}$ όπου $\displaystyle{m\in\left\{-4,-2,0,2,...,32,34\right\}}$ .

Είναι $\displaystyle{\lambda-4<\lambda-2<\lambda<\lambda+2<...<\lambda+32<\lambda+34}$ και η διαφορά δύο τυχαίων στοιχείων του $\displaystyle{\Omega}$ δίνει

$\displaystyle{\lambda+m+2-\lambda-m=2}$

Συνεπώς, τα στοιχεία του $\displaystyle{\Omega}$ αποτελούν αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο $\displaystyle{a_1=\lambda-4}$

και διαφορά $\displaystyle{\omega=2}$ .

β) $\displaystyle{S_{20}=280\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow \frac{20}{2}\left[2(\lambda-4)+19\cdot 2\right]=280}$

$\displaystyle{\Rightarrow 2\lambda-8+38=28}$

$\displaystyle{\Rightarrow 2\lambda=-2}$

$\displaystyle{\Rightarrow \lambda=-1}$

γ) $\displaystyle{\Omega=\left\{-5,-3,-1,1,...,32,34\right\}}$

Εφόσον $\displaystyle{k\in\Omega}$ είναι $\displaystyle{k\neq 2}$ και άρα η παράσταση

$\displaystyle{(k-2)x^2+(k+1)x+(k+1)}$ είναι ένα τριώνυμο του $\displaystyle{x}$ .

Για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{(k-2)x^2+(k+1)x+(k+1)<0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(k-2<0\right)\ \land \left((k+1)^2-4(k-2)(k+1)<0\right)$

$\displaystyle{\Leftrightarrow k<2\ \land 3(k+1)(3-k)<0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow k<2\ \land \left(k<-1\ \lor k>3\right)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow k<-1}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow k=-5\ \lor k=-3}$

Άρα, $\displaystyle{A=\left\{-5,-3\right\}}$ και αφού ο $\displaystyle{\Omega}$ αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, έχουμε

$\displaystyle{P(A)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 20, 2013 5:06 pm**

sidchris έγραψε:Άσκηση 5η
Οι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{27 + \alpha ,555 + \alpha ,1371 + \alpha }$ είναι όλοι τέλεια τετράγωνα.Αν οι τετραγωνικές ρίζες τους είναι αριθμητική πρόοδος να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί

Ένας τρόπος...

Aφού οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, ισχύει :

$\displaystyle{2\sqrt{555+a}=\sqrt{27+a}+\sqrt{1371+a}\Rightarrow \left(2\sqrt{555+a}\right)^2=\left(\sqrt{27+a}+\sqrt{1371+a}\right)^2\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow 4(555+a)=27+a+1371+a+2\sqrt{(27+a)(1371+a)}\Rightarrow 2220+4a=1398+2a+2\sqrt{(27+a)(1371+a)}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow 822+2a=2\sqrt{(27+a)(1371+a)}\Rightarrow 411+a=\sqrt{(27+a)(1371+a)}\Rightarrow (411+a)^2=\sqrt{(27+a)(1371+a)}^2\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow 168921+822a+a^2=37017+1398a+a^2\Rightarrow 576a=131904\Rightarrow a=229}$

τιμή που ικανοποιεί καθώς προκύπτουν οι αριθμοί : $\displaystyle{256,784,1600}$ που είναι τέλεια τετράγωνα και έχουν ρίζες, αντίστοιχα :

$\displaystyle{16,28,40}$ που βρίσκονται σε αριθμητική πρόοδο με διαφορά $\displaystyle{12}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 23, 2013 2:17 pm**

sidchris έγραψε:Άσκηση 1η
α) Να δειχθεί ότι $\displaystyle{{\left( {\alpha + \beta } \right)^2} + {\left( {1 - \alpha \beta } \right)^2} = \left( {{\alpha ^2} + 1} \right)\left( {{\beta ^2} + 1} \right)}$

β) Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{{\chi ^2} + \kappa \chi + 1 = \lambda }$ (1) με κ≠0
1)Αν η εξίσωση (1) έχει διπλή ρίζα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή του λ και να λυθεί η εξίσωση
2)Να δειχθεί ότι η παράσταση $\displaystyle{{\kappa ^2} + {\lambda ^2}}$ είναι σύνθετος αριθμός (μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο)
3)Αν ισχύει $\displaystyle{{\rm{|2 + \kappa - \lambda | < 1}}}$ να δειχθεί ότι μια από τις λύσεις θα ανήκει στο διάστημα

Χαιρετώ την μαθηματική παρέα.

α)Αναπτύσσοντας τα τετράγωνα στο πρώτο μέλος της αποδεικτέας, έχουμε,

$\displaystyle{(\alpha+\beta)^2+(1-\alpha\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2+1-2\alpha\beta+\alpha^2\beta^2=\alpha^2(1+\beta^2)+(\beta^2+1)=(\alpha^2+1)(\beta^2+1)}$

που είναι το ζητούμενο.

β1)Για $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{x^2+kx+1=\lambda\Leftrightarrow \left(x+\frac{k}{2}\right)^2=\frac{k^2}{4}+(\lambda-1)(\ast)}$ .

Για να έχει η παραπάνω εξίσωση διπλή ρίζα θα πρέπει,

$\displaystyle{\frac{k^2}{4}+(\lambda-1)=0\Leftrightarrow \lambda-1=-\frac{k^2}{4}\Leftrightarrow \lambda=1-\frac{k^2}{4}<1}$

και άρα η μεγαλύτερη ακέραια τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ είναι η $\displaystyle{\lambda=0}$

Για $\displaystyle{\lambda=0}$ έχουμε, σύμφωνα με την $\displaystyle{(\ast)}$ , ότι

$\displaystyle{\left(x+\frac{k}{2}\right)^2=\frac{k^2+4}{4}\Leftrightarrow x=\frac{-k+\sqrt{k^2+4}}{2}\ \lor x=\frac{-k-\sqrt{k^2+4}}{2}}$

β2)Από τους τύπους του Vieta, για $\displaystyle{\frac{k^2}{4}+(\lambda-1)>0}$ ισχύει ότι

$\displaystyle{x_1+x_2=-k}$ και $\displaystyle{x_1\cdot x_2=1-\lambda}$

όπου $\displaystyle{x_1,x_2}$ οι ρίζες της δοσμένης εξίσωσης.

Τότε,

$\displaystyle{k^2+\lambda^2=(-k)^2+\lambda^2=(x_1+x_2)^2+(1-x_1\cdot x_2)^2\stackrel{a)}{=}(x_1^2+1)(x_2^2+1)}$

Αν η δοσμένη εξίσωση έχει διπλή ρίζα, τότε όπως έιδαμε στο β1), ισχύει $\displaystyle{k^2=4(1-\lambda)}$ και συνεπώς,

$\displaystyle{k^2+\lambda^2=4-4\lambda+\lambda^2=(\lambda-2)(\lambda-2)}$ .

β3)Αρχικά για να υπάρχουν οι ρίζες, θα πρέπει $\displaystyle{\frac{k^2}{4}+(\lambda-1)>0\Leftrightarrow 1-\lambda<\frac{k^2}{4}}$

Έστω τώρα ότι $\displaystyle{\left|2+k-\lambda|<1}$ .Τότε,

i) $\displaystyle{2+k-\lambda=0}$ ή ii) $\displaystyle{-1<2+k-\lambda<0}$ ή $\displaystyle{0<2+k-\lambda<1}}$

Αν ισχύει το i), τότε το $\displaystyle{1\in\left(0,2\right)}$ είναι ρίζα της εξίσωσης.

Για τις άλλες περιπτώσεις δεν μπορώ να βρώ κάτι.Μπορώ να έχω μια υπόδειξη?

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 23, 2013 4:04 pm**

BAGGP93 έγραψε:
sidchris έγραψε:Άσκηση 1η
α) Να δειχθεί ότι $\displaystyle{{\left( {\alpha + \beta } \right)^2} + {\left( {1 - \alpha \beta } \right)^2} = \left( {{\alpha ^2} + 1} \right)\left( {{\beta ^2} + 1} \right)}$

β) Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{{\chi ^2} + \kappa \chi + 1 = \lambda }$ (1) με κ≠0
1)Αν η εξίσωση (1) έχει διπλή ρίζα να βρεθεί η μεγαλύτερη ακέραια τιμή του λ και να λυθεί η εξίσωση
2)Να δειχθεί ότι η παράσταση $\displaystyle{{\kappa ^2} + {\lambda ^2}}$ είναι σύνθετος αριθμός (μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο)
3)Αν ισχύει $\displaystyle{{\rm{|2 + \kappa - \lambda | < 1}}}$ να δειχθεί ότι μια από τις λύσεις θα ανήκει στο διάστημα
Χαιρετώ την μαθηματική παρέα.

....

β3)Αρχικά για να υπάρχουν οι ρίζες, θα πρέπει $\displaystyle{\frac{k^2}{4}+(\lambda-1)>0\Leftrightarrow 1-\lambda<\frac{k^2}{4}}$

Έστω τώρα ότι $\displaystyle{\left|2+k-\lambda|<1}$ .Τότε,

i) $\displaystyle{2+k-\lambda=0}$ ή ii) $\displaystyle{-1<2+k-\lambda<0}$ ή $\displaystyle{0<2+k-\lambda<1}}$

Αν ισχύει το i), τότε το $\displaystyle{1\in\left(0,2\right)}$ είναι ρίζα της εξίσωσης.

Για τις άλλες περιπτώσεις δεν μπορώ να βρώ κάτι.Μπορώ να έχω μια υπόδειξη?

$\displaystyle{{\rm{|2 + \kappa - \lambda | =|(x_1-1)(x_2-1)|...}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 21, 2013 11:24 pm**

Άσκηση 6η
Αν υπάρχουν μοναδικά $\displaystyle{x,y,z}$ που να ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2z}}}$ και $\displaystyle{{\rm{x + y + z = t}}}$ τότε να βρεθεί το

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 03, 2013 5:20 pm**

sidchris έγραψε:Άσκηση 6η
Αν υπάρχουν μοναδικά $\displaystyle{x,y,z}$ που να ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2z}}}$ και $\displaystyle{{\rm{x + y + z = t}}}$ τότε να βρεθεί το

Αρχικά να κάνω μια παρατήρηση . Αν για την παράσταση $f(x) = ax^2 + bx + c~,~a\neq0$ ισχύει b^2 - 4bc = 0

, τότε μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός $x_0 = \frac{-b}{2a}$ τέτοιος ώστε f(x_0)=0

.

Οπότε από τα δεδομένα παίρνουμε x^2 + y^2 = 2(t-x-y)~~(*)

ή

επειδή υπάρχει μοναδικός αριθμός

που την επαληθεύει , απαιτούμε(θεωρώντας την τριώνυμο ως προς

) να ισχύει D_1 = 0

ή

, και επειδή το

είναι μοναδικό , θεωρώντας το τριώνυμο ως προς

, απαιτούμε
D_2 = 0

ή

απ'όπου

. Για

κάνουμε την επαλήθευση .

Η άσκηση θα μπορούσε να λυθεί και με ορίζουσες .

Παρατήρηση Αν υπάρχουν μοναδικοί πραγματικοί αριθμοί a,b

ώστε να ισχύει a^2 + b^2 = t

τότε

.
Απόδειξη .
Αν υποθέσουμε ότι $t \neq 0$ τότε η εξίσωση a^2 = t - b^2

ως προς

θα έχει είτε δύο άνισες λύσεις ή θα είναι αδύνατη . Άτοπο .

Aν βασιστούμε σ'αυτήν την παρατήρηση τότε παίρνουμε και άλλη μια λύση για την άσκηση .
Αφού η (*)

θα γράφεται (x+1)^2 + (y+1)^2 = 2t + 2

οπότε απαιτούμε 2t + 2 = 0

απ'όπου

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 20, 2013 11:43 am**

sidchris έγραψε:Άσκηση 2η
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = {x^2} + \beta x + \gamma }$ με και οι ρίζες της εξίσωσης είναι ακέραιοι αριθμοί
α) Να βρεθεί το σύνολο $\displaystyle{{\rm{A = \{ x}} \in {\rm{R| f(x)}} \le {\rm{0\} }}}$

α)Αντικαθιστώντας το $\displaystyle{x}$ με $\displaystyle{2}$ παίρνουμε τη σχέση $\displaystyle{2\beta +\gamma =-5}$ .Ακόμη ξέρουμε πως η διακρίνουσα της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=0}$ πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.Άρα

$\displaystyle{\beta ^{2}-4\gamma=k^{2}}$ .Λύνοντας ως προς $\displaystyle{\gamma}$ στην προηγούμενη σχέση παίρνουμε $\displaystyle{\gamma =-5-2\beta}$ .Συνεπώς $\displaystyle{\beta ^{2}+8\beta +20=k^{2} \Rightarrow (b+4)^{2}+4=k^{2}}$ .Τα μόνα τέλεια

τετράγωνα που διαφέρουν μεταξύ τους κατά $\displaystyle{4}$ είναι τα $\displaystyle{0,4}$ .Επομένως $\displaystyle{\beta=-4 \ , \ \gamma =3}$ .Άρα $\displaystyle{f(x)=x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)}$ .Συνεπώς για να ανήκει το

$\displaystyle{x}$ στο $\displaystyle{A}$ θα πρέπει $\displaystyle{x\in [1,3]}$ .Έτσι $\displaystyle{A=\{x\in \mathbb{R}|x\in [1,3]}\}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 07, 2020 12:54 pm**

Δίνονται οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις $\displaystyle \left| {\lambda + 2} \right|{x^2} - 4x + 1 = 0$ και $\displaystyle {x^2} + \left| {\lambda + 2} \right|x - 4 = 0$ $\displaystyle \lambda \in R$
α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να έχουν δυο πραγματικές ρίζες άνισες
β) Αν οι δυο εξισώσεις έχουν κοινή ρίζα
i. Τότε αυτή είναι το 1
ii. Να βρεθούν οι τιμές του λ
γ) Αν οι απόλυτες τιμές των ριζών της (1) είναι ανάλογες των απόλυτων τιμών των ριζών της (2) μια προς μια να βρεθούν, οι τιμές του λ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 07, 2020 12:58 pm**

Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση $\displaystyle {x^2} - \beta x + \gamma = 0$ και $\displaystyle \beta ,\gamma \in R$ που έχει δυο ρίζες $\displaystyle {x_1},{x_2}$ πραγματικές και άνισες και πληρούν την σχέση $\sqrt {10{x_1} - {x_2}^2} = \sqrt {{x_2} + 2} + \sqrt {25{x_1}^2 + {x_2}}$
α) Να δείξετε ότι $\displaystyle {y^2} + 2y + 25{x^2} - 10x + 2 \ge 0$
β) Να δείξετε ότι ${x_1} = \frac{1}{5}$ και ${x_2} = - 1$ και να βρεθούν τα β,γ
γ) Να βρεθούν οι τιμές των x,y ώστε ${\left( {1 - y} \right)^{2019}} = \sqrt {y - 4x - 5{x^2}} + \sqrt {y - 1}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 07, 2020 1:00 pm**

Δίνεται η παράσταση ${\rm A} = \left| {{x^2} - x + 3} \right| + x + \left| x \right|$
α) Να γράψετε της Α χωρίς τα απόλυτα
β) Να λυθεί η εξίσωση Α=15
γ) Έστω η εξίσωση $2{x^2} + (\gamma + 10)x + 2\gamma = 0$
i. Να δείξετε ότι έχει 2 ρίζες άνισες
ii. Εάν ${x_1},{x_2}$ οι ρίζες της και ισχύει $\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| > \frac{{3\gamma }}{2} + 1$ να βρεθούν οι τιμές του γ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 10, 2020 2:39 am**

Δίνεται

mathematica.gr

Συλλογή Ασκήσεων

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων