mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 25, 2013 10:48 am**

Βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή του $\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left| {f'\left( x \right)} \right|}^2}\left| {f\left( x \right)} \right|\frac{1}{{\sqrt x }}dx} }$ για όλες τις συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f:\left[ {0,1} \right] \to }$ με $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$ και $\displaystyle{\int\limits_0^1 {{{\left| {f'\left( x \right)} \right|}^2} \le 1} }$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 25, 2013 2:37 pm**

Με Cauchy-Schwarz βλέπουμε ότι $|f(t)|=|\int_{0}^{t}f'(t)dt| \leq |\int_{0}^{t}f'(t)^2|^{\frac{1}{2}}|\sqrt{t}|$ .
Άρα $\int_{0}^{1}|f'(t)|^2|f(t)|t^{-\frac{1}{2}}dt \leq \int_{0}^{1}|f'(t)|^2 (\int_{0}^{t}f'(t)^2)^{\frac{1}{2}}dt$ $=\frac{2}{3}(\int_{0}^{1}f'(t)^2dt)^{\frac{3}{2}} \leq \frac{2}{3}$ , ισότητα για f(t)=t.

mathematica.gr

SEEMOUS 2013/3

SEEMOUS 2013/3

Re: SEEMOUS 2013/3