mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 5:08 pm**

Στο τίτλο έγραφε ''για βελτίωση βαθμολογίας''.

1. Δυο τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma ,A'B'\Gamma'}$ βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα και είναι $\displaystyle{AB //A'B'\,, B\Gamma //B'\Gamma' \,, A\Gamma // A'\Gamma' }$ .
Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες $\displaystyle{AA', BB', \Gamma \Gamma'}$ περνάνε από το αυτό σημείο ή είναι παράλληλες μεταξύ τους.

2.α) Να μελετηθεί ως προς την σύγκλιση η ακολουθία $\displaystyle{{{\alpha }_{\nu }}=\frac{{{\nu }^{2}}+\nu +1}{2{{\nu }^{2}}+\nu +7},\,\,\nu =1,2,3,\ldots}$
β) Να ορισθούν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x}$ που ο καθένας τους είναι τέτοιος ώστε να ισχύει $\displaystyle{\left| x+\lim \frac{{{\nu }^{2}}+3}{3{{\nu }^{2}}-1} \right|>\frac{7}{3}}$ .

3. Θεωρούμε τη συνάρτηση της μεταβλητής $\displaystyle{x}$ με τύπο $\displaystyle{y=\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}}}$ .
Να αποδειχθεί ότι η πιο πάνω συνάρτηση έχει δυο ακρότατα, ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο (και να υπολογισθούν αυτά τα ακρότατα) .
Ακόμη να υπολογισθούν οι τιμές της $\displaystyle{x}$ στις οποίες αντιστοιχούν τα πιο πάνω ακρότατα.

4. Δίνονται τα διανύσματα $\vec{\alpha }=(2,1,-1),\,\,\vec{\beta }=(1,-1,0)$ του χώρου ${{\mathbb{R}}^{3}}$ .
Να ορισθεί διάνυσμα $\vec{\gamma }=(\kappa ,\lambda ,\mu )$ τέτοιο ώστε να ισχύουν $\vec{\alpha }\cdot \vec{\gamma }=\vec{\beta }\cdot \vec{\gamma }=0$ και $\left| {\vec{\gamma }} \right|=\sqrt{11}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 5:32 pm**

3. Θεωρούμε τη συνάρτηση της μεταβλητής $\displaystyle{x}$ με τύπο $\displaystyle{y=\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}}$ με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}}}$ .
Να αποδειχθεί ότι η πιο πάνω συνάρτηση έχει δυο ακρότατα, ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο (και να υπολογισθούν αυτά τα ακρότατα) .
Ακόμη να υπολογισθούν οι τιμές της $\displaystyle{x}$ στις οποίες αντιστοιχούν τα πιο πάνω ακρότατα.

Λύση

Θα βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

'Εχουμε : $\displaystyle{y=\frac{5x}{x^2+x+1}\Leftrightarrow yx^2+yx+y=5x\Leftrightarrow yx^2+(y-5)x+y=0~(1)}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Aν $\displaystyle{y=0}$ τότε η (1) δίνει : $\displaystyle{-5x=0\Leftrightarrow x=0\in \mathbb R}$ άρα το $\displaystyle{0}$ ανήκει στο σύνολο τιμών.

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{y\ne 0}$ τότε η (1) είναι 2ου βαθμού και πρέπει να ισχύει : $\displaystyle{\Delta \geq 0\Leftrightarrow (y-5)^2-4y^2\geq 0\Leftrightarrow}(y-5+2y)(y-5-2y)\geq 0\Leftrightarrow$

$\displaystyle{(3y-5)(-y-5)\geq 0\Leftrightarrow y\in \left[-5,\frac{5}{3}\right]}$ . Επομένως τα ακρότατα είναι το $\displaystyle{-5}$ που προκύπτει για $\displaystyle{x=-1}$

και το $\displaystyle{\frac{5}{3}}$ που προκύπτει για $\displaystyle{x=1}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 5:43 pm**

4. Δίνονται τα διανύσματα $\vec{\alpha }=(2,1,-1),\,\,\vec{\beta }=(1,-1,0)$ του χώρου ${{\mathbb{R}}^{3}}$ .
Να ορισθεί διάνυσμα $\vec{\gamma }=(\kappa ,\lambda ,\mu )$ τέτοιο ώστε να ισχύουν $\vec{\alpha }\cdot \vec{\gamma }=\vec{\beta }\cdot \vec{\gamma }=0$ και $\left| {\vec{\gamma }} \right|=\sqrt{11}$ .

Λύση

Έχουμε : $\displaystyle{\vec a\cdot \vec \gamma=0\Leftrightarrow 2\kappa+\lambda-\mu=0~(1)}$ και $\displaystyle{\vec \beta\cdot \vec \gamma=0\Leftrightarrow \kappa-\lambda=0~(2)}$ .

Eπίσης, $\displaystyle{|\vec \gamma|=\sqrt{11}\Leftrightarrow \kappa^2+\lambda^2+\mu^2=11~(3)}$ . Προσθέτουμε τις (1), (2) και έχουμε : $\displaystyle{\mu=3\lambda}$ .

Aντικαθιστώντας στην (3) έχουμε : $\displaystyle{\lambda^2+\lambda^2+9\lambda^2=11\Leftrightarrow \lambda^2=1\Leftrightarrow \lambda=\pm 1}$ .

Eπομένως, $\displaystyle{\vec\gamma=(1,1,3)~\acute{\eta}~\vec\gamma=(-1,-1,-3)}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 6:22 pm**

4. Δίνονται τα διανύσματα $\vec{\alpha }=(2,1,-1),\,\,\vec{\beta }=(1,-1,0)$ του χώρου ${{\mathbb{R}}^{3}}$ .
Να ορισθεί διάνυσμα $\vec{\gamma }=(\kappa ,\lambda ,\mu )$ τέτοιο ώστε να ισχύουν $\vec{\alpha }\cdot \vec{\gamma }=\vec{\beta }\cdot \vec{\gamma }=0$ και $\left| {\vec{\gamma }} \right|=\sqrt{11}$ .

Επειδή είμαι σχετικά μικρός (28) , το εξωτερικό γινόμενο ήταν εντός ή εκτός ύλης στην Δέσμες??

Μία λύση θα μπορούσε να είναι η εξής:
Το $\vec{\gamma }$ είναι κάθετο και στο $\vec{\alpha}$ και στο $\vec{\beta}$ .
Έστω $\vec{\delta}$ το εξωτερικό γινόμενο των $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ , το οποίο έχει συντεταγμένες $\vec{\delta}=(-1,-1,-3)$ και είναι κάθετο και στα δύο διανύσματα.
Τώρα ψάχνω ένα διάνυσμα παράλληλο στο $\vec{\delta}$ με μέτρο $\right|\sqrt{11}$ , δηλαδή πρέπει να λύσω την εξίσωση:
$\sqrt{k^2 + k^2 + (3k)^2 }= \sqrt{11}\Leftrightarrow k^2 + k^2 + (3k)^2= \sqrt{11}\Leftrightarrow 11k^2=11\Leftrightarrow k=1$ ή k=-1

.
Eπομένως, $\displaystyle{\vec\gamma=(1,1,3)~\acute{\eta}~\vec\gamma=(-1,-1,-3)}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 7:16 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 8:04 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

mathematica.gr

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ Β' 1983

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ Β' 1983

Re: Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ Β' 1983

Re: Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ Β' 1983

Re: Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ Β' 1983

Re: Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ Β' 1983

Re: Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ Β' 1983