mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2013 3:47 pm**

1. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα $\displaystyle{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha \beta \gamma=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)}$
β) Το άθροισμα τριών πραγματικών αριθμών ισούται με $\displaystyle{72}$ , το γινόμενο αυτών ισούται με $\displaystyle{3.800}$
και το άθροισμα των τετραγώνων τους ισούται με $\displaystyle{1.730}$ .
Να υπολογίσετε το άθροισμα των κύβων των τριων αυτών πραγματικών αριθμών.
(υπόδειξη: για το δεύτερο μπορείτε να χρησιμοποιήσετε προαιρετικά την προηγούμενη ταυτότητα)

2. Δίνεται η ανίσωση $\displaystyle{\frac{3x^2+2x+2}{x^2+x+1}>\beta}$ , όπου $\displaystyle{\beta}$ πραγματικός αριθμός.
Να βρείτε για ποιες ακέραιες και θετικές τιμές του $\displaystyle{\beta}$ η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .

3. Σ' ένα τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο το $\displaystyle{O}$ ονομάζουμε $\displaystyle{M}$ το σημείο στο οποίο
τέμνονται οι ευθείες που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του. Αν το σημείο $\displaystyle{K}$ είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{O}$ ως προς $\displaystyle{M}$ ,
να αποδείξετε οτι η ευθεία που ενώνει το μέσο μιας πλευράς του τετραπλεύρου με το $\displaystyle{K}$ είναι κάθετη στην απέναντι πλευρά.

4. Να λυθει το σύστημα $\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \eta \mu x +\eta \mu y=1\\ 2\sigma \upsilon \nu ^2x-2\eta \mu^2 y=1 \end{matrix}\right.}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2013 5:27 pm**

4. Να λυθει το σύστημα $\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \eta \mu x +\eta \mu y=1\\ 2\sigma \upsilon \nu ^2x-2\eta \mu^2 y=1 \end{matrix}\right.}$

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \eta \mu x + \eta \mu y = 1\;\quad \quad \;\left( 1 \right)\\ 2\sigma \upsilon {\nu ^2}x - 2\eta {\mu ^2}y = 1\;\left( 2 \right) \end{array} \right.}$

Η δεύτερη εξίσωση γίνεται:

$\displaystyle 2\left( {1 - \eta {\mu ^2}x} \right) - 2\eta {\mu ^2}y = 1 \Leftrightarrow 2\eta {\mu ^2}x + 2\eta {\mu ^2}y = 1 \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}x + \eta {\mu ^2}y = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {\left( {\eta \mu x + \eta \mu y} \right)^2} - 2\eta \mu x \cdot \eta \mu y = \frac{1}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} 1 - 2\eta \mu x \cdot \eta \mu y = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \eta \mu x \cdot \eta \mu y = \frac{1}{4}\;\left( 3 \right)$

Άρα $\displaystyle\displaystyle {\left\{ \begin{array}{l} \eta \mu x + \eta \mu y = 1\\ \eta \mu x \cdot \eta \mu y = \frac{1}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \eta \mu x = \eta \mu y = \frac{1}{2}}$

Έτσι $\displaystyle x = 2\kappa \pi + \frac{\pi }{6}$ ή $\displaystyle x = 2\kappa \pi + \frac{{5\pi }}{6}$ με $\kappa \in Z$ και

$\displaystyle y = 2\lambda \pi + \frac{\pi }{6}$ ή $\displaystyle y = 2\lambda \pi + \frac{{5\pi }}{6}$ με $\lambda \in Z$

Οπότε η λύση του συστήματος είναι τα τέσσερα δυνατά ζεύγη που προκύπτουν από τις παραπάνω λύσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2013 7:22 pm**

2. Δίνεται η ανίσωση $\displaystyle{\frac{3x^2+2x+2}{x^2+x+1}>\beta}$ , όπου $\displaystyle{\beta}$ πραγματικός αριθμός.
Να βρείτε για ποιες ακέραιες και θετικές τιμές του $\displaystyle{\beta}$ η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Απάντηση

Έχουμε ότι: $\displaystyle{\frac{3x^2+2x+2}{x^2+x+1}>\beta}$ $\Rightarrow$ 3x^2+2x+2>

$\displaystyle{\beta}$ \displaystyle{x^{2}+

\displaystyle{\beta}}

$\displaystyle{\beta}$ , αφού x^2+x+1>0

, για κάθε $x \in R$ .

Έτσι: $(3-\displaystyle{\beta})x^{2}+(2-\displaystyle{\beta})x+(2-\displaystyle{\beta})>0$ , για κάθε $x \in R$ .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) $(2-\displaystyle{\beta})^{2}-4(3-\displaystyle{\beta})(2-\displaystyle{\beta})<0$ και $(3-\displaystyle{\beta})>0$ $\Rightarrow$ $-3\displaystyle{\beta}^{2}+16\displaystyle{\beta}-20<0$ και $\displaystyle{\beta}<3$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{\beta}<2$ ή $\displaystyle{\beta}>20/6$ και $\displaystyle{\beta}<3$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{\beta}<2$ .

2) $(2-\displaystyle{\beta})^{2}-4(3-\displaystyle{\beta})(2-\displaystyle{\beta})>0$ $\Rightarrow$ $-3\displaystyle{\beta}^{2}+16\displaystyle{\beta}-20>0$ $\Rightarrow$ $2< \displaystyle{\beta} <20/6$

Επομένως οι θετικές ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει ο $\displaystyle{\beta}$ είναι οι εξής: $\displaystyle{\beta}=1,3$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2013 7:55 pm**

Giorgos S έγραψε:2. Δίνεται η ανίσωση $\displaystyle{\frac{3x^2+2x+2}{x^2+x+1}>\beta}$ , όπου $\displaystyle{\beta}$ πραγματικός αριθμός.
Να βρείτε για ποιες ακέραιες και θετικές τιμές του $\displaystyle{\beta}$ η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Απάντηση

Έχουμε ότι: $\displaystyle{\frac{3x^2+2x+2}{x^2+x+1}>\beta}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{\beta}$ \displaystyle{x^{2}+\displaystyle{\beta}} $\displaystyle{\beta}$ , αφού , για κάθε $x \in R$ .

Έτσι: $(3-\displaystyle{\beta})x^{2}+(2-\displaystyle{\beta})x+(2-\displaystyle{\beta})>0$ , για κάθε $x \in R$ .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) $(2-\displaystyle{\beta})^{2}-4(3-\displaystyle{\beta})(2-\displaystyle{\beta})<0$ και $(3-\displaystyle{\beta})>0$ $\Rightarrow$ $-3\displaystyle{\beta}^{2}+16\displaystyle{\beta}-20<0$ και $\displaystyle{\beta}<3$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{\beta}<2$ ή $\displaystyle{\beta}>20/6$ και $\displaystyle{\beta}<3$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{\beta}<2$ .

2) $(2-\displaystyle{\beta})^{2}-4(3-\displaystyle{\beta})(2-\displaystyle{\beta})>0$ $\Rightarrow$ $-3\displaystyle{\beta}^{2}+16\displaystyle{\beta}-20>0$ $\Rightarrow$ $2< \displaystyle{\beta} <20/6$

Επομένως οι θετικές ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει ο $\displaystyle{\beta}$ είναι οι εξής: $\displaystyle{\beta}=1,3$ .

Παρατηρώ ότι αν $\displaystyle{\beta}=3$ και x = 0

δεν ισχύει η εκφώνηση.

Το βήμα (2) (Διακρίνουσα θετική) δεν το κατάλαβα.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2013 7:56 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2013 8:24 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2013 9:23 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 15, 2013 1:31 am**

2.

Έστω $y(x)=\dfrac{3x^2+2x+2}{x^2+x+1}$ με $x\in\mathbb{R} .$

Είναι $y-2=\dfrac{3x^2+2x+2}{x^2+x+1}-2=\dfrac{x^2}{x^2+x+1}\geq 0 .$ Η ισότητα ισχύει όταν x=0 .

Επομένως, $y(x)\geq 2=y(0)$ δηλαδή το

είναι η ελάχιστη τιμή της y(x).

Άρα $\beta <2$ και επειδή είναι θετικός ακέραιος, θα είναι $\beta=1 .$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 15, 2013 2:11 am**

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Giorgos S έγραψε:2. Δίνεται η ανίσωση $\displaystyle{\frac{3x^2+2x+2}{x^2+x+1}>\beta}$ , όπου $\displaystyle{\beta}$ πραγματικός αριθμός.
Να βρείτε για ποιες ακέραιες και θετικές τιμές του $\displaystyle{\beta}$ η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Απάντηση

Έχουμε ότι: $\displaystyle{\frac{3x^2+2x+2}{x^2+x+1}>\beta}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{\beta}$ \displaystyle{x^{2}+\displaystyle{\beta}} $\displaystyle{\beta}$ , αφού , για κάθε $x \in R$ .

Έτσι: $(3-\displaystyle{\beta})x^{2}+(2-\displaystyle{\beta})x+(2-\displaystyle{\beta})>0$ , για κάθε $x \in R$ .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) $(2-\displaystyle{\beta})^{2}-4(3-\displaystyle{\beta})(2-\displaystyle{\beta})<0$ και $(3-\displaystyle{\beta})>0$ $\Rightarrow$ $-3\displaystyle{\beta}^{2}+16\displaystyle{\beta}-20<0$ και $\displaystyle{\beta}<3$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{\beta}<2$ ή $\displaystyle{\beta}>20/6$ και $\displaystyle{\beta}<3$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{\beta}<2$ .

2) $(2-\displaystyle{\beta})^{2}-4(3-\displaystyle{\beta})(2-\displaystyle{\beta})>0$ $\Rightarrow$ $-3\displaystyle{\beta}^{2}+16\displaystyle{\beta}-20>0$ $\Rightarrow$ $2< \displaystyle{\beta} <20/6$

Επομένως οι θετικές ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει ο $\displaystyle{\beta}$ είναι οι εξής: $\displaystyle{\beta}=1,3$ .
Παρατηρώ ότι αν $\displaystyle{\beta}=3$ και δεν ισχύει η εκφώνηση.

Το βήμα (2) (Διακρίνουσα θετική) δεν το κατάλαβα.

έχετε δίκιο

mathematica.gr

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Re: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ