mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 09, 2013 1:47 pm**

Αν $z \in \mathbb{C}$ , |z|=1

να δείξετε ότι: $|1-z|+|z^2+1| \geq \sqrt{2}$

(Δεν έχω λύση χωρίς χρήση της τριγωνομετρικής μορφής του )

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 09, 2013 1:59 pm**

Έστω $\displaystyle{z=x+yi,~x,y\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x^2+y^2=1.}$

Αν $\displaystyle{x<0}$ είναι

$\displaystyle{|1-z|+|1+z^2|\geq |1-z|=\sqrt{(1-x)^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2+1-2x}=\sqrt{2-2x}\geq \sqrt{2}.}$

Αν $\displaystyle{x\geq 0}$ είναι

$\displaystyle{|1-z|+|1+z^2|\geq |1+z^2-1+z|=|z(z+1)|=|z+1|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}=\sqrt{2+2x}\geq \sqrt{2}.}$

Τελειώσαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 09, 2013 2:02 pm**

Ήταν απλό τελικά ! Ευχαριστώ κ.Θάνο!

mathematica.gr

Ανισότητα/Μέτρα

Ανισότητα/Μέτρα

Re: Ανισότητα/Μέτρα

Re: Ανισότητα/Μέτρα