mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 15, 2013 2:16 am**

Αν

ακέραιοι και ο αριθμός

$\displaystyle{\frac{a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)}{2}}$

είναι τέλειο τετράγωνο, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{a=b=c.}$

Γράφουμε $\displaystyle{a-b=x, b-c=y}$ και έχουμε $\displaystyle{x^2+xy+y^2=2k^2.}$

Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{x,y\ne 0}$ οπότε υπάρχουν $\displaystyle{k,l<\infty}$ με $\displaystyle{2^k||x, 2^l||y.}$

Αν k>l

(αντίστοιχα για $\displaystyle{k<l}$ ) τότε $\displaystyle{2^{2l}|| x^2+xy+y^2}$ άτοπο αφού η μέγιστη δύναμη του 2 που διαιρεί τον 2k^2

είναι περιττής τάξης.

Αν $\displaystyle{k=l}$ τότε πάλι $\displaystyle{2^{2l}|| x^2+xy+y^2}$ άτοπο.

Άρα $\displaystyle{xy=0.}$ Έστω πχ $\displaystyle{x=0.}$ Τότε $\displaystyle{y^2=2k^2}$ οπότε $\displaystyle{y=k=0}$ (ο $\sqrt{2}$ είναι άρρητος).

Σε κάθε περίπτωση $\displaystyle{x=y=0 }$ δηλαδή $\displaystyle{a=b=c.}$

mathematica.gr

Βουλγάρικο Πρόβλημα 10

Βουλγάρικο Πρόβλημα 10