mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 15, 2013 8:46 am**

: Κατάλληλο σημείο.png (11.27 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

Με διάμετρο την ακτίνα

του ημικυκλίου διαμέτρου

, γράφω προς το ίδιο μέρος , νέο ημικύκλιο .

Σε σημείο

που κινείται επί της

, φέρω κάθετη , η οποία τέμνει τα ημικύκλια στα σημεία T,P

.

Η

τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο σημείο

. Για ποιά θέση του

είναι

?

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 15, 2013 10:13 am**

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κατάλληλο σημείο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Με διάμετρο την ακτίνα του ημικυκλίου διαμέτρου , γράφω προς το ίδιο μέρος , νέο ημικύκλιο .

Σε σημείο που κινείται επί της , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει τα ημικύκλια στα σημεία .

Η τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο σημείο . Για ποιά θέση του είναι ?

: Σε ποιά θέση.png (21.4 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές

Επειδή $\widehat {ATO} = {90^0}$ , ως βαίνουσα σε ημικύκλιο , το

απόστημα στη χορδή

του μεγάλου ημικυκλίου και άρα $\boxed{AT = TQ}$ . Αν E,Z

οι προβολές των S,P

αντίστοιχα στη χορδή αυτή

, αν δεχτούμε λυμένο το πρόβλημα θα είναι

SE = PZ

, με άμεση συνέπεια TS = TP

και κατ’ επέκταση τα τρίγωνα

$SAT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PQT$ να είναι και ίσα . Τότε όμως , εύκολα θα προκύψει ότι PQ// = AS

.

Το τετράπλευρο ABQP

ως εγγεγραμμένο τραπέζιο θα είναι ισοσκελές , οπότε

προφανώς $\boxed{AS = \frac{1}{3}AB}$ . Η τελευταία μας προσδιορίζει και την ζητούμενη θέση του

.
Παρατήρηση :

Τότε μπορούμε να δείξουμε ότι η

εφάπτεται του μικρού ημικυκλίου

( εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού του

Φιλικά Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 15, 2013 10:15 am**

: ask103.png (8.81 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές

Έστω

.

Είναι $OT\parallel BQ$ (αφού $A\hat{T}O=A\hat{Q}B=90^o$ και

μέσο

, άρα $AT=QT\;(1)$ .

Στο $\overset{\triangle}{ATO}$ έχουμε $AT^2=AS\cdot AO \iff AT=\sqrt{xR}$ και λόγω της (1):

$QT=\sqrt{xR}$ , $TS^2=AS\cdot SO \iff TS=\sqrt{x(R-x)}$ .

Στο $\overset{\triangle}{APB}$ έχουμε $PS^2=AS\cdot SB \iff PS=\sqrt{x(2R-x)}$ άρα $PT=PS-TS=\sqrt{x(2R-x)}-\sqrt{x(R-x)}$ .

Για να είναι ίσα τα εμβαδά , εφόσον $P\hat{T}Q=A\hat{T}S$ , θα πρέπει $PT\cdot QT=AT\cdot TS\iff PT=TS\iff$

$\iff \sqrt{x(2R-x)}-\sqrt{x(R-x)}=\sqrt{x(R-x)}\iff$

$\iff \sqrt{x(2R-x)}=2\sqrt{x(R-x)} \iff$

$2Rx-x^2=4Rx-4x^2 \iff x=\dfrac{2R}{3}$ .

Άρα θα πρέπει $AS=\dfrac{2R}{3}=\dfrac{AB}{3}$ .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

α)Για τη θέση αυτή είναι $PQ\parallel AB$ .

β)Έχουν ενδιαφέρον τα παρακάτω ερωτήματα (δεν τα απέδειξα ακόμα (και δεν ξέρω πόσο δύσκολα είναι), τα συμπέρανα από το Geogebra).

i)Να αποδειχτεί ότι το περίκεντρο $\color{blue}M$ του $\color{blue}\overset{\triangle}{PQT}$ βρίσκεται στην $\color{blue}BP$ .
ii)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του $\color{blue}M$ .
iii)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου $\color{blue}N$ του $\color{blue}PQ$ .

mathematica.gr

Κατάλληλο σημείο

Κατάλληλο σημείο

Re: Κατάλληλο σημείο

Re: Κατάλληλο σημείο