mathematica.gr

Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες, με δύο χρώματα.
Δείξτε ότι υπάρχει ορθογώνιο με κορυφές του ίδιου χρώματος.

Έστω ότι χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου κόκκινα ή μπλε. Θεωρούμε 7 σημεία σε μια ευθεία.

Τότε υπάρχουν τουλάχιστον 4 του ίδιου χρώματος. Ας υποθέσουμε ότι αυτά είναι τα κι ότι είναι μπλε.

Προβάλλουμε τα σε δυο νέες ευθείες παίρνοντας τα και για .

Αν 2 από τα είναι μπλε ή 2 από τα είναι μπλε, τελειώσαμε. Αν όχι, τότε το πολύ 1 από τα και το πολύ 1 από τα είναι μπλε.

Συνεπώς, υπάρχουν το πολύ 2 τμήματα με κορυφές διαφορετικού χρώματος. Αφού συνολικά έχουμε 4 τμήματα της μορφής , υπάρχει ορθογώνιο της μορφής με όλες τις κορυφές κόκκινες (στο σχήμα είναι το ).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Θα αποδείξουμε γενικότερα ότι αν χρωματίσουμε τα σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες με διαφορετικά χρώματα (όπου ακέραιος), τότε υπάρχει ορθογώνιο με κορυφές του ίδιου χρώματος.

Για θέτουμε



Επειδή το σύνολο έχει στοιχεία, από την αρχή της περιστεροφωλιάς δύο τουλάχιστον από τα στοιχεία του έχουν το ίδιο χρώμα.

Θεωρούμε τώρα τα σύνολα

Επειδή υπάρχουν τρόποι χρωματισμού ενός συνόλου στοιχείων με χρώματα, θα υπάρχουν τέτοιοι, ώστε τα σημεία και να έχουν το ίδιο χρώμα για κάθε

Αν είναι δύο σημεία με το ίδιο χρώμα, τότε και τα σημεία έχουν το ίδιο χρώμα με τα οπότε το ορθογώνιο με κορυφές τα σημεία είναι μονοχρωματικό.

Ισχύει επίσης πως όχι μόνο μπορούμε να βρούμε μονόχρωμο ορθογώνιο αλλά μονόχρωμο τετράγωνο.

Η απόδειξη είναι πολύ πιο δύσκολη γι' αυτό και εγώ δίνω την προειδοποίησή μου: «Προσοχή! Μην το δοκιμάσετε στο σπίτι.»