mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 11, 2013 12:37 am**

Έστω $a, b, c \in \Bbb{R}$ και το σύνολο $L =\big \{(x, y) \in \mathbb{Q}×\mathbb{Q} \; |\; ax+by = c\big\}.$

α) Υπάρχουν μη μηδενικοί και διαφορετικοί ανά δύο $\displaystyle{a,b,c \in \Bbb{R}}$ ώστε $L =\emptyset ;$
β) Υπάρχουν μη μηδενικοί και διαφορετικοί ανά δύο $\displaystyle{a,b,c \in \Bbb{R}}$ ώστε το

να είναι μονοσύνολο;
γ) Δείξτε ότι αν το

περιέχει δύο στοιχεία, τότε περιέχει άπειρα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 11, 2013 8:45 am**

socrates έγραψε:Έστω $a, b, c \in \Bbb{R}$ και το σύνολο $L = \{(x, y) \in \Bbb{Q}×\Bbb{Q} | ax+by = c}.$

α) Υπάρχουν μη μηδενικοί και διαφορετικοί ανά δύο $\displaystyle{a,b,c \in \Bbb{R}}$ ώστε $L =\emptyset ;$
β) Υπάρχουν μη μηδενικοί και διαφορετικοί ανά δύο $\displaystyle{a,b,c \in \Bbb{R}}$ ώστε το να είναι μονοσύνολο;
γ) Δείξτε ότι αν το περιέχει δύο στοιχεία, τότε περιέχει άπειρα.

α) Υπάρχουν. Π.χ. $a= \sqrt 2, \, b=2\sqrt 2, \, c=1.$ Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν ρητοί $x,\,y$ με $(x+2y)\sqrt 2 =1$ λόγω της αρρητότητας του $\sqrt 2$ .

β) Υπάρχουν. Π.χ. $a= 1, \, b=\sqrt 2, \, c=1 +\sqrt 2$ . Τότε η μόνη λύση της $x+\sqrt 2 y=1+\sqrt 2$ με $x, \, y \in \mathbb Q$ είναι η x=y=1

. Πραγματικά, η ισότητα αυτή γράφεται $(x-1) =(1-y)\sqrt 2$ , που από την αρρητότητα του $\sqrt 2$ δίνει $x=1, \, y=1$ .

γ) Αν $\displaystyle{(x_0,\, y_0), \, (x_1,\, y_1)}$ δύο ρητές λύσεις της ax+by=c

, τότε είναι άμεσο ότι και οι $\displaystyle{\left (px_0 +(1-p) x_1, py_0 +(1-p) y_1\right ), \, p \in \mathbb Q}$ είναι αποδεκτές, άπειρες το πλήθος λύσεις.

Φιλικά,

Μιχάλης

mathematica.gr

Σύνολο

Σύνολο

Re: Σύνολο