mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 28, 2009 9:00 pm**

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:R \to R}$ και ο πραγματικός $\displaystyle{c \in (0, + \infty )}$ .
Αν $\displaystyle{{f^2}(x) + {g^2}(x) = c}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ,
να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{{x_0} \in R}$ , τέτοιος ώστε:
$\displaystyle{\left| {f\left( {{x_0}} \right)} \right| = \sigma \upsilon \nu {x_0}\sqrt c }$ και $\displaystyle{\left| {g\left( {{x_0}} \right)} \right| = \eta \mu {x_0}\sqrt c }$

Φιλικά Χρήστος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 28, 2009 9:31 pm**

Έχουμε συνάρτηση $\displaystyle{ h\left( x \right) = \left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - \sqrt c \sigma \upsilon \nu \chi } \right)^2 - \left( {\left| {g\left( x \right)} \right| - \sqrt c \eta \mu \chi } \right)^2 }$ για $\displaystyle{ x \in \Re }$
η h είναι συνεχής στο [0, π/2 ] ως άθροισμα συνεχών
και $\displaystyle{ h(0) = 2\left| {f\left( 0 \right)} \right|\left( {\left| {f\left( 0 \right)} \right| - \sqrt c } \right) < 0 }$
αφού (λίγο γρήγορα και όχι αυστηρά) $\displaystyle{ f^2 + g^2 = c \Leftrightarrow g^2 = c - f^2 > 0 \Leftrightarrow f^2 < c \Leftrightarrow \left| f \right| < \sqrt c }$

επίσης $\displaystyle{ h\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\left| {g\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right|\left( {\sqrt c - \left| {g\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right|} \right) > 0 }$
αφού $\displaystyle{ f^2 + g^2 = c \Leftrightarrow f^2 = c - g^2 > 0 \Leftrightarrow g^2 < c \Leftrightarrow \left| g \right| < \sqrt c }$
άρα η εξίσωση h(x)=0 έχει μια λύση στο (0, π/2) άρα και σε όλο το R. Οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ...

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 16, 2013 9:40 pm**

Συγνώμη εαν η ερώτηση μου είναι χαζή αλλά πως προκύπτει το ζητούμενο ;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 12:16 am**

Μάλλον λόγω βιασύνης έγινε κάποια απροσεξεία . Οι κύριες σκέψεις είναι σωστές, δηλαδή : οι τιμές των δύο συναρτήσεων σε όλο τον άξονα των πραγματικών αριθμών υπακούουν.... σχεδόν.. στο περιορισμό που αναφέρεται καθώς και σε έναν ακόμα περιορισμό . Το ζητούμενο επιτυγχάνετα με χρήση ενός bolzano, σε μία από τις συναρτήσεις που υπονοούνται από τα ζητούμενα και στη συνέχεια χρησιμοποιόντας τον αριθμό που προκύπτει από το bolzano στην ΑΡΧΙΚΗ σχέση τετραγώνων προκύπτει ότι ο ΙΔΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ θα ικανοποιεί και τη δεύτερη ζητούμενη ισότητα.Θα έλεγα πως με την ποιο πάνω παρεμβαση αναδείχτηκε μια ενδιαφέρουσα άσκηση.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 12:45 am**

Υποθέτω οτι ο κ. Χατζόπουλος ήθελε να γράψει την h(x) ως άθροισμα τετραγώνων και όχι ως διαφορά.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 17, 2013 8:36 pm**

Για την $h\left(x \right)=f^{2}(x)-cos^{2}x\cdot c$ με Bolzano στο $\left[0,\frac{\pi }{2} \right]$ δείχνουμε ότι υπάρχει ρίζα.

Δηλαδή $f^{2}(x_{0})=cos^{2}x_{0}\cdot c$ οπότε $c-g^{2}(x_{0})=(1-sin^{2}x_{0})c$

δηλαδή $c\cdot sin^{2}x_{0}=g^{2}(x_{0})$