mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 13, 2013 5:46 pm**

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{y}{x} - 9xy = 2\\ \\ \frac{z}{y} - 9yz = 6\\ \\ \frac{{3x}}{z} - 3zx = 2\\ \\ \left( {x,y,z \in \mathbb R} \right) \end{array} \right.}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 13, 2013 6:47 pm**

Γράφουμε $\displaystyle{3x=\tan A, \ A\in \left(-\frac{\pi}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{\pi}{2}}$ και παίρνουμε $\displaystyle{3y=\tan 2A, z=\tan 4A, 3x=\tan 8A.}$

Οπότε $\displaystyle{\tan 8A=\tan A \implies A=\pm \frac{\pi}{7},\pm \frac{2\pi}{7},\pm \frac{3\pi}{7}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 04, 2013 12:30 am**

Πιο αναλυτικά η σκέψη του Θανάση (socrates)

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{y}{x} - 9xy = 2\\ \\ \frac{z}{y} - 9yz = 6\\ \\ \frac{{3x}}{z} - 3zx = 2\\ \\ \left( {x,y,z \in \mathbb R} \right) \end{array} \right.}$

θέτω $\displaystyle{3x=\varepsilon \phi A }$ με $\displaystyle{A\in \left(-\frac{\pi}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$

οπότε από την πρώτη εξίσωση έχουμε
$\displaystyle{\frac{3y}{\varepsilon \phi A} - 3y\varepsilon \phi A= 2 \Leftrightarrow 3y\frac{\varepsilon \phi ^2A-1}{\varepsilon \phi A} =2 \Leftrightarrow 3y=\frac{2\varepsilon \phi A}{\varepsilon \phi ^2A-1} \Leftrightarrow 3y=\varepsilon \phi 2A}$

οπότε από την δεύτερη εξίσωση έχουμε
$\displaystyle{\frac{3z}{\varepsilon \phi 2A} - 3z\varepsilon \phi 2A= 6\Leftrightarrow 3z\frac{\varepsilon \phi ^22A-1}{\varepsilon \phi 2A} =6 \Leftrightarrow z=\frac{2\varepsilon \phi 2A}{\varepsilon \phi ^22A-1} \Leftrightarrow z=\varepsilon \phi 4A}$

οπότε από την τρίτη εξίσωση έχουμε
$\displaystyle{\frac{3x}{\varepsilon \phi 4A} - 3x\varepsilon \phi 4A= 2\Leftrightarrow 3x\frac{\varepsilon \phi ^24A-1}{\varepsilon \phi 4A} =2 \Leftrightarrow 3x=\frac{2\varepsilon \phi 4A}{\varepsilon \phi ^24A-1} \Leftrightarrow 3x=\varepsilon \phi 8A}$

άρα $\displaystyle{\varepsilon \phi A=3x=\varepsilon \phi 8A \Rightarrow 8A=A+k\pi \Leftrightarrow A=\frac{k\pi}{7} \,\, , \,\,k\in Z}$

Για $\displaystyle{0<A<\frac{\pi}{2}\Rightarrow 0<\frac{k\pi}{7}<\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow 14\cdot 0<14\cdot \frac{k}{7}<14\cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0<2k<7\Rightarrow k\in\{1,2,3\}}$

Για $\displaystyle{-\frac{\pi}{2}<k<0\Rightarrow -\frac{\pi}{2}<\frac{k\pi}{7}<0 \Leftrightarrow -14\cdot \frac{1}{2}<14\cdot \frac{k}{7}<14\cdot 0 \Leftrightarrow -7<2k<0\Rightarrow k\in\{-1,-2,-3\}}$

οπότε
$\displaystyle{(x,y,z)=\left(\frac{\displaystyle \varepsilon \phi \frac{\kappa \pi}{7}}{3},\frac{\displaystyle\varepsilon \phi \frac{2\kappa \pi}{7}}{3},\varepsilon \phi \frac{4\kappa \pi}{7}\right)}$ με $\displaystyle{k\in\{\pm 1,\pm 2,\pm 3\}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 04, 2013 6:41 pm**

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \frac{y}{x} - 9xy = 2\\ \\ \frac{z}{y} - 9yz = 6\\ \\ \frac{{3x}}{z} - 3zx = 2\\ \\ \left( {x,y,z \in \mathbb R} \right) \end{array} \right.}$

Ας δούμε και την διαπραγμάτευση που ακολουθεί και μόνο για λόγους Μαθηματικής πολυφωνίας. Πολυφωνία που είναι ζητούμενη ειδικά για τέτοιου τύπου θέματα.

Από τις πρώτη και τρίτη εξισώσεις παίρνουμε $\displaystyle({y = \frac{{2x}} {{1 - 9x^2 }}\quad \left( 1 \right))}$ και $\displaystyle({z = \frac{{ - 1 + \sqrt {1 + 9x^2 } }} {{3x}}\quad \left( 2 \right)}$ ή $\displaystyle{z = \frac{{ - 1 - \sqrt {1 + 9x^2 } }} {{3x}}\quad \left( 3 \right)})}$ ,
με τις (2), (3)

να προέρχονται άμεσα από την δευτεροβάθμια ως προς

εξίσωση $\displaystyle{3xz^2 + 2z - 3x = 0.}$
Ας θεωρήσουμε $\displaystyle{\sqrt {1 + 9x^2 } = t > 0.}$
Από την δεύτερη εξίσωση του συστήματος και τις σχέσεις (1), (2)

έχουμε την εύρεση του

(άρα και του

) καθότι εύκολα καταλήγουμε στην επίλυση των εξισώσεων $t = 0\;\dot \eta \;t^3 - 4t^2 + 4t + 8 = 0\quad \left( * \right).$
Η t=0

απορρίπτεται οπότε για την επίλυση της (*)

, χρησιμοποιούμε κατά τα γνωστά τον μετασχηματισμό $t = u + \frac{4}{3}$ και καταλήγουμε σε επίλυση εξίσωσης της μορφής $u^3 + ku + \ell = 0.$ Αυτή επίσης κατά τα γνωστά επιλύεται με τον προσδιορισμό a,b

ώστε $u^3 - 3abu + ab\left( {a + b} \right) = u^3 + ku + \ell$ και μετά από την ισοδύναμη εξίσωση $\displaystyle{\left( {\frac{{u - a}}{{u - b}}} \right)^3 = \frac{a}{b},}$ απλή διωνυμική.
Oπότε χρησιμοποιώντας την σχέση (1)

προσδιορίζουμε τον

και από την σχέση (2)

προσδιορίζουμε τον

.
Όμοια εργαζόμαστε και με βάση την ισχύ των σχέσεων (1), (3)

.

$\diamond$ Eυχαριστώ τον parmenides για την επισήμανση λάθους σε πράξη.

mathematica.gr

ΣΥΣΤΗΜΑ 28 (ΡΩΣΙΑ)

ΣΥΣΤΗΜΑ 28 (ΡΩΣΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 28 (ΡΩΣΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 28 (ΡΩΣΙΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 28 (ΡΩΣΙΑ)