mathematica.gr • Καλοκαιρινή συναρτησιακή 9

Σελίδα 1 από 1

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 9

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 16, 2013 9:12 pm

από socrates

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 9

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 06, 2013 8:03 pm

από socrates

Επαναφορά! Δεν είναι δύσκολη!

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 9

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 06, 2013 8:29 pm

από kostas_zervos

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για

y=0

έχουμε

xf(0)=xf(0)f(x)

.

Αν $f(0)\neq 0$ , τότε για κάθε $x\neq 0$ έχουμε f(x)=1

f(x)=1

.

Τελικά $f(x)=\begin{cases}1\;,\;x\neq 0\\ a\;,\;x=0\end{cases}$ όπου $a\neq 0$ (επαληθεύει).

Αν f(0)=0

f(0)=0

.

Για

x=y=1

έχουμε

f(1)=0

ή

f(1)=1

.

Αν

f(1)=0

, τότε για y=1

y=1

έχουμε $xf(1)+f(x)=(x+1)f(x)f(1)\iff f(x)=0$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ .

Αν f(1)=1

f(1)=1

, τότε για y=1

y=1

έχουμε $xf(1)+f(x)=(x+1)f(x)f(1)\iff x+f(x)=(x+1)f(x) \iff xf(x)=x$ , οπότε για κάθε $x\neq 0$ έχουμε f(x)=1

f(x)=1

, άρα

$f(x)=\begin{cases}1\;,\;x\neq 0\\ 0\;,\;x=0\end{cases}$ (επαληθεύει).

Επομένως f(x)=0

f(x)=0

ή $f(x)=\begin{cases}1\;,\;x\neq 0\\ a\;,\;x=0\end{cases}\;,\;a\in\Bbb{R}$ .