mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 19, 2013 8:19 pm**

: Εφαπτόμενα τμήματα.png (9.75 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

Έστω τετράγωνο ABCD

πλευράς

. Γράφουμε τον κύκλο που διέρχεται από το

και τα μέσα M,N

των

αντίστοιχα.

Από το

φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα BS,BT

προς τον κύκλο αυτόν και έστω E,Z

τα σημεία που η

τέμνει τις AD,SD

αντίστοιχα. Να βρεθούν:

α) Το μήκος

και

β) Ο λόγος $\dfrac{{ED}}{{EA}}$

Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 20, 2013 12:13 am**

: SXHMA.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

(α) Είναι φανερό, ότι ο κύκλος που περνάει από τα σημεία $\displaystyle{D,N,M}$ , θα περνάει κκαι από το κέντρο του τετραγώνου

πλευράς $\displaystyle{a}$ , (διότι η $\displaystyle{MP}$ είναι μεσοκέθετος της $\displaystyle{AD}$ ) Έστω $\displaystyle{K}$ το κέντρο του κύκλου και $\displaystyle{R}$ η ακτίνα του.

Έχουμε: $\displaystyle{DP^2 =\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}\Rightarrow DP=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{2}}{4}}$

Τώρα $\displaystyle{BT^2 =BK^2 -R^2 =(BP+R)^2 -R^2 =BP^2 +2R.BP}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

$\displaystyle{BD=a\sqrt{2}}$ (διαγώνιος του τετραγώνου). Άρα: $\displaystyle{BP=\frac{a\sqrt{2}}{2}}$

Συνεπώς: $\displaystyle{BT^2 =(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 +2.\frac{a\sqrt{2}}{4}.\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow BT=a}$

(b) Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{KBT}$ , έχουμε: $\displaystyle{KT^2 =KB.KL\Rightarrow }$

$\displaystyle{(\frac{a\sqrt{2}}{4})^2 =(KP+PB).KL=3R.KL=3\frac{a\sqrt{2}}{4}.KL\Rightarrow KL=\frac{a\sqrt{2}}{12}}$

Άρα: $\displaystyle{DL=DK+KL=R+KL=\frac{a\sqrt{2}}{4}+\frac{a\sqrt{2}}{12}=\frac{a\sqrt{2}}{3}}$

Και $\displaystyle{LP=R-KL=\frac{a\sqrt{2}}{4}-\frac{a\sqrt{2}}{12}=\frac{a\sqrt{2}}{6}}$

Άρα: $\displaystyle{\frac{ED}{EA}=\frac{DL}{LP}=2}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 20, 2013 12:50 am**

Doloros έγραψε:Έστω τετράγωνο πλευράς . Γράφουμε τον κύκλο που διέρχεται από το και τα μέσα των αντίστοιχα.Από το φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα προς τον κύκλο αυτόν και έστω τα σημεία που η τέμνει τις αντίστοιχα. Να βρεθούν:α) Το μήκος και β) Ο λόγος $\dfrac{{ED}}{{EA}}$
Νίκος

Στο σχήμα του Δημήτρη πιο πάνω

α) ${\left( {BT} \right)^2} = \left( {BP} \right)\left( {BD} \right) = \dfrac{{\left( {BD} \right)}}{2}\left( {BD} \right) =$ $\dfrac{{{{\left( {BD} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{2} = {a^2} \Rightarrow \boxed{\left( {BT} \right) = a}$
β) Η είναι η πολική του ως προς τον κύκλο και συνεπώς η σειρά $\left( {P,D,B,L} \right)$ είναι αρμονική οπότε: $\dfrac{{\left( {LD} \right)}}{{\left( {LP} \right)}} = \dfrac{{\left( {BD} \right)}}{{\left( {BP} \right)}} = 2\mathop \Rightarrow \limits^{LE\parallel PA} \boxed{\dfrac{{\left( {ED} \right)}}{{\left( {EA} \right)}} = 2}$

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 20, 2013 4:09 am**

Άλλη μια λύση..

Ερώτημα 1

Είναι, $\displaystyle{B{T^2} = BH \cdot BD}$ .Αλλά με Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle DMN}$ εύκολα παίρνουμε ότι $\displaystyle{MN = \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2}}$ που προφανώς είναι διάμετρος του κύκλου άρα και $\displaystyle{DH = MN = \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow BH = \alpha \sqrt 2 - \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow BH = \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2}}$
Τώρα, $\displaystyle{B{T^2} = BH \cdot BD = \alpha \sqrt 2 \cdot\frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2} \displaystyle{ \Rightarrow \boxed{{\text{ }}BT = \alpha {\text{ }}}}$ .

Ερώτημα 2

Ο κύκλος $\displaystyle{(B,\alpha )}$ θα περάσει από τα $\displaystyle{S,T}$ και η $\displaystyle{EA}$ θα είναι εφαπτομένη του
Ισχύει, $\displaystyle{E{A^2} = ES \cdot ET = EM \cdot ED \Rightarrow \frac{{ED}}{{EA}} = \frac{{EA}}{{EM}} = \lambda \Rightarrow ED = \lambda EA,EA = \lambda EM}$
$\displaystyle{DE + EA = \alpha \Rightarrow \left( {\lambda + 1} \right)EA = \alpha {\text{ }}\left( 1 \right)}$
$\displaystyle{EA + EM = \frac{\alpha }{2} \Rightarrow \left( {\lambda + 1} \right)EM = \frac{\alpha }{2}{\text{ }}\left( 2 \right)}$
$\displaystyle{\frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}} \Rightarrow \frac{{\left( {\lambda + 1} \right)EA}}{{\left( {\lambda + 1} \right)EM}} = \frac{\alpha }{{\frac{\alpha }{2}}} \Rightarrow \frac{{EA}}{{EM}} = 2}$ Άρα και $\displaystyle{\boxed{\frac{{ED}}{{EA}} = 2}}$ και ο ζητούμενος λόγος βρέθηκε

mathematica.gr

Μήκος και λόγος

Μήκος και λόγος

Re: Μήκος και λόγος

Re: Μήκος και λόγος

Re: Μήκος και λόγος