mathematica.gr • Καλοκαιρινή συναρτησιακή 20

Σελίδα 1 από 1

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 20

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 26, 2013 9:18 pm

από socrates

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+2y)+f(2x+y) =f(xy) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 20

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 27, 2013 6:25 pm

από Thanasis Tasoulas

Ωραία άσκηση!
θέτουμε:
x=0:f(x)=-f(2x)

x=0:f(x)=-f(2x)

(1)

x=y:2f(3x)=f(x^2)

(2)

y=-x:f(-x)+f(x)=f(-x^2)

(3)
(2):

x=-x:2f(-3x)=f(x^2)=2f(3x)

άρα

f(x)=f(-x)

, για κάθε $x\in R$ άρα άρτια.
η (3) γίνεται: 2f(x)=f(x^2)

2f(x)=f(x^2)

άρα
$f(x)={f(x^2)}/2=f(3x)=-f(2x)$ , για κάθε $x\in R$
στην

f(3x)=-f(2x)

θέτουμε

x=x/2:f(x)=-f(3/2x)=-f(2x)

άρα

f(3x)=f(4x)

στην ${f(x^2)}/2=-f(2x)$ θέτουμε x=2x:f(4x)=-f(4x^2)/2=f(x^2)/2

x=2x:f(4x)=-f(4x^2)/2=f(x^2)/2

άρα

f(x)=-f(4x)

, για κάθε $x\geq 0$ άρα f(x)=-f(x)

f(x)=-f(x)

άρα

f(x)=0

, για κάθε $x\geq 0$
και αφού f άρτια άρα f(x)=0

f(x)=0

, για κάθε $x\in R$ .

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 20

Δημοσιεύτηκε: Τρί Αύγ 27, 2013 7:14 pm

από socrates

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=551089

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 20

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 01, 2013 2:49 pm

από socrates

Αλλιώς:

Είναι $\displaystyle{ f(2x+2y)+f(4x+y) =f(2xy)=f(x+4y)+f(2x+2y) , }$

οπότε $\displaystyle{f(4x+y) =f(x+4y)}$ οπότε

σταθερή (το σύστημα $4x+y=a, \ x+4y=b$ έχει λύση για κάθε a,b

a,b

).