mathematica.gr

1) Έστω , όπου το είναι διάστημα, παραγωγίσιμη με για κάποιο . Δείξτε ότι η είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Ισχύει το αντίστροφο;

2) Έστω ομοιόμορφα συνεχής. Δείξτε ότι η είναι φραγμένη.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:1) Έστω , όπου το είναι διάστημα, παραγωγίσιμη με για κάποιο . Δείξτε ότι η είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Ισχύει το αντίστροφο;

2) Έστω ομοιόμορφα συνεχής. Δείξτε ότι η είναι φραγμένη.

Ένδιαφέρουσες ασκήσεις για την ομοιόμορφη συνέχεια..

Για το πρώτο..

Αφού η είναι φραγμένη υπάρχει Μ>Ο τέτοιο ώστε για κάθε x.'Ετσι απο το θεώρημα μέσης τιμής για κάθε x,y με έχουμε ότι υπάρχει ξ ανάμεσα στα x και y τέτοιο ώστε :

Άρα .Δηλαδή η είnai Lipschitz,επομένως είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Δεν ισχύει το αντίστροφο εν γένει..Ένα παράδειγμα συνάρτησης που είναι ομοιόμορφα συνεχής αλλά δεν είναι Lipschitz είναι η στο [0,+οο).

Για το δεύτερο..

Έστω ότι η δεν είναι φραγμένη.Τότε υπάρχει μία ακολουθία τέτοια ώστε για κάθε n. H είναι φραγμένη άρα απο το θεώρημα Bolzano-Weirstrass έχει συγκλίνουσα υπακολουθία,την .Aφού η συγκλίνει είναι Cauchy.Άρα και η είναι Cauchy επειδή η είναι ομοιόμορφα συνεχής.Επομένως και η συγκλίνει.Άτοπο γιατί

Επιπρόσθετα για το δεύτερο σκέλος μπορούμε να πούμε ότι η επεκτείνεται σε συνεχή συνάρτηση .Η είναι φραγμένη αφου είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα.Άρα και η έιναι φραγμένη.

Φιλικά,

Αντώνης.

Όμορφα!!

όμως το

Antonis Loutraris έγραψε:Aφού η συγκλίνει είναι Cauchy.Άρα και η είναι Cauchy επειδή η είναι ομοιόμορφα συνεχής.

και το

Antonis Loutraris έγραψε: μπορούμε να πούμε ότι η επεκτείνεται σε συνεχή συνάρτηση .

ιδίως το δεύτερο θέλουν ένα κάποιο επιχείρημα..Τα θέτω λοιπόν προς απόδειξη:

1) Έστω ομοιόμορφα συνεχής. Δείξτε ότι η επεκτείνεται σε συνεχή συνάρτηση .

2) Έστω ομοιόμορφα συνεχής.Αν η είναι ακολουθία στο , τότε και η είναι ακολουθία .

Για το 2) αποτέλεσμα το οποίο είναι μια αρκετά όμορφη ιδιότητα των ομοιόμορφα συνεχών συναρτήσεων,που λέει ότι μία ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση στέλνει συγκλίνουσες ακολουθίες σε συγκλίνουσες ακολουθίες, έχουμε τα εξής:

Έστω ε>0 και ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση.Αφου η είναι ομοιόμορφα συνεχής υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για κάθε με έχουμε .Αφού η είναι Cauchy υπάρχει τέτοιο ώστε για κάθε .Eπομένως για όλα αυτά τα n και m έχουμε .Άρα η είναι Cauchy.

Για το πρώτο ερώτημα έχουμε τα εξής:

Αφου η είναι ομοιόμορφα συνεχής τα όρια στα άκρα υπάρχουν και είναι πεπερασμενα

Η συνάρτηση:




είναι συνεχής στο κλειστό [a,b] και είναι επέκταση της αρχικής που είναι ορισμένη στο (a,b).

Φιλικά,

Αντώνης.

Το (2) προκύπτει εύκολα από τους ορισμούς και συνηθίζουμε να το χρησιμοποιούμε έχοντας στο μυαλό μας το ρητό:

οι ομοιόμορφα συνεχείς στέλνουν ακολουθίες Cauchy σε ακολουθίες Cauchy.

Για το (1), να θέσω προς απόδειξη το εξής:

Έστω συνεχής στο H ομοιόμορφα συνεχής στο αν και μόνο αν τα όρια υπάρχουν.

Έτσι φαίνεται και πως μπορεί να οριστεί η

Νίκος Κατσίπης

ΥΓ: Με προσπέρασε στην στροφή ο Αντώνης...

Nίκο αξίζει να σημειωθεί ότι το αντίστροφο του αποτελέσματος που ανέφερες δεν ισχύει εν γένει.Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και ορισμένη σε κάποιο μη φραγμένο διάστημα και το όριο στο + ή - δεν υπάρχει ή είναι άπειρο, δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα αν η συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής.
Παράδειγμα αυτού η συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής αλλά τα όρια στο + και - δεν υπάρχουν.

Antonis Loutraris έγραψε:Nίκο αξίζει να σημειωθεί ότι το αντίστροφο του αποτελέσματος που ανέφερες δεν ισχύει εν γένει.Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και ορισμένη σε κάποιο μη φραγμένο διάστημα και το όριο στο + ή - δεν υπάρχει ή είναι άπειρο, δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα αν η συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής.
Παράδειγμα αυτού η συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής αλλά τα όρια στο + και - δεν υπάρχουν.

Σωστή η παρατήρηση σου Αντώνη!

Νίκος