mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 09, 2013 9:57 pm**

Για το εξής λήμμα το οποίο χρησιμοποίησα εδώ: Με διαιρετότητα, νόμιζα ότι είχα μια απλή απόδειξη, αλλά τελικά ήταν λανθασμένη. Δεν γνωρίζω αν πρόκειται για θεώρημα ή ανοιχτό πρόβλημα και αν εμπίπτει σε αυτό το φάκελο.

Έστω $a\in\mathbb{N}$ και

το σύνολο των πρώτων αριθμών. Τότε το σύνολο $S=\{a+p|p\in P\}$ έχει άπειρο πλήθος πρώτων διαιρετών.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 10, 2013 10:04 am**

Θα δείξω κάτι αρκετά πιο ισχυρό: Για κάθε πρώτο

υπάρχει πρώτος

ώστε

.

Αν

παίρνω

και το ζητούμενο αποδείχθηκε. Αν $q \nmid a$ τότε (q,q-a) = (q,a) = 1

και άρα από θεώρημα του Dirtichlet υπάρχει πρώτος

(υπάρχουν μάλιστα άπειροι τέτοιοι πρώτοι) ώστε $p \equiv (q-a) \bmod q$ . Αυτός ο

δουλεύει και το ζητούμενο πάλι αποδείχθηκε.

(Δεν ξέρω αν το ζητούμενο αποδεικνύεται και πιο στοιχειωδώς. Δεν το προσπάθησα.)

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 13, 2013 6:42 pm**

Καλησπέρα κύριε Δημήτρη, ευχαριστώ που ασχοληθήκατε!
Μια άλλη λύση υπάρχει εδώ.
Ακόμα δεν έχει βρεθεί κάτι πιο στοιχειώδες...

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 20, 2013 4:34 pm**

Mikesar έγραψε:Για το εξής λήμμα το οποίο χρησιμοποίησα εδώ: Με διαιρετότητα, νόμιζα ότι είχα μια απλή απόδειξη, αλλά τελικά ήταν λανθασμένη. Δεν γνωρίζω αν πρόκειται για θεώρημα ή ανοιχτό πρόβλημα και αν εμπίπτει σε αυτό το φάκελο.

Έστω $a\in\mathbb{N}$ και το σύνολο των πρώτων αριθμών. Τότε το σύνολο $S=\{a+p|p\in P\}$ έχει άπειρο πλήθος πρώτων διαιρετών.

Η λύση μου διεγράφη γιατί μόλις είδα την ομοιότητα με την λύση του κύριου Δημήτρη.

Θα ψάξω για κάτι elementary.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 20, 2013 11:36 pm**

Mikesar έγραψε:Για το εξής λήμμα το οποίο χρησιμοποίησα εδώ: Με διαιρετότητα, νόμιζα ότι είχα μια απλή απόδειξη, αλλά τελικά ήταν λανθασμένη. Δεν γνωρίζω αν πρόκειται για θεώρημα ή ανοιχτό πρόβλημα και αν εμπίπτει σε αυτό το φάκελο.

Έστω $a\in\mathbb{N}$ και το σύνολο των πρώτων αριθμών. Τότε το σύνολο $S=\{a+p|p\in P\}$ έχει άπειρο πλήθος πρώτων διαιρετών.

Θα κάνω μια προσπάθεια για
στοιχειώδης αντιμετώπιση του θέματος που ζήτησε ο Μιχάλης .

Έστω ότι το πλήθος των διαιρετών του συνόλου $S=\{a+p|p\in P\}$ είναι πεπερασμένο και έστω λοιπόν ότι οι μόνοι διαιρέτες του συνόλου αυτού είναι οι Q_1>Q_2>....>Q_k