mathematica.gr • Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου

Σελίδα 1 από 1

Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 10, 2013 5:13 pm

από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Δίνεται κύκλος $\left( O \right)$ (κέντρου ) και έστω δύο σημεία του με $\left( {AB} \right) = a$ (γνωστό). Έστω επίσης το μέσο της και ας είναι το ένα εκ

των κοινών σημείων της μεσοκάθετης της με τον $\left( O \right)$ . Αν είναι τυχόν σημείο του $\left( O \right)$ και τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου

της γωνίας $\angle M$ του τριγώνου $\vartriangle MAB$ και $\left( K \right)$ ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle MPP'$ τότε:
[attachment=0]Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου.png[/attachment]
i) Να βρεθούν οι : $D_{_{\left( K \right)}}^O$ και $D_{_{\left( O \right)}}^K$ , όπου $D_{_{\left( K \right)}}^O,D_{_{\left( O \right)}}^K$ οι δυνάμεις των ως προς τον $\left( K \right)$ και του ως προς τον $\left( O \right)$ αντίστοιχα.

ii) Επίσης να βρεθούν οι : $D_{_{\left( K \right)}}^I,D_{_{\left( K \right)}}^H,D_{_{\left( O \right)}}^I,D_{_{\left( O \right)}}^H$ .

iii) Να αποδείξετε ότι ο ριζικός άξονας των κύκλων $\left( O \right)$ και $\left( K \right)$ διέρχεται από γνωστό σημείο (ανεξάρτητα από τη θέση του σημείου $M \in \left( O \right)$ )

Στάθης

Re: Ριζικός άξονας δια γνωστού σημείου

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 28, 2013 8:27 pm

από Αλεξίνοος

Θεωρούμε κύκλον (O)

(O)

, μία διάμετρό του, την

, και μία χορδή του, την

, κάθετον επί την

εις το σημείο

.
Η δύναμη του

ως προς τον κύκλο (

) είναι ίση προς (IH)(IZ)

(IH)(IZ)

.
Η δύναμη του

ως προς τον κύκλο (O)

(O)

είναι ίση προς

.

: 13_11_28_a.PNG (8.36 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές

Έστω

, τυχόν σημείο του (O)

(O)

(κείμενο μετά του

προς το αυτό μέρος της

) και

και

τα κοινά σημεία των

και

μετά της

, αντιστοίχως.
Θεωρούμε τον κύκλο (K)

(K)

, διαμέτρου PP'

PP'

και κέντρου

.
Τα σημεία

,

,

,

, αποτελούν αρμονική σημειοσειρά, οπότε:
Η δύναμη του

ως προς τον κύκλο (K)

(K)

είναι ίση προς AI^2

AI^2

.
Η δύναμη του

ως προς τον κύκλο (O)

(O)

είναι ίση προς KP^2

KP^2

.
Η δύναμη του

ως προς τον κύκλο (K)

(K)

είναι ίση προς OK^2 - KM^2

OK^2 - KM^2

.
Θεωρούμε τον κύκλο (R)

(R)

, τον περιγεγραμμένο του τετραπλεύρου IPMH

IPMH

και τον κύκλο (R')

(R')

τον περιγεγραμμένο του τετραπλεύρου ZIMP'

ZIMP'

(γωνίες στο

και το

: ορθές), οπότε, συμπεραίνουμε ότι:
Η δύναμη του

ως προς τον κύκλο (K)

(K)

είναι ίση προς (HI)(HZ)

(HI)(HZ)

.
Η δύναμη του

ως προς τον κύκλο (K)

(K)

είναι ίση προς (ZI)(ZH)

(ZI)(ZH)

.
Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι:
Εάν δια της αυτής διαδικασίας θεωρήσουμε ένα δεύτερο κύκλο, τον (K')

(K')

, ο ριζικός άξων των (K)

(K)

και

(K')

θα είναι η ευθεία

(κάθετος επί την διάκεντρο KK'

KK'

).
Το σημείο εις το οποίο οι ριζικοί άξονες των κύκλων (O)

(O)

,

(K)

και

(O)

,

(K')

, τέμνουν την

είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων (O)

(O)

,

(K)

και

(K')

.

: 13_11_28_b.PNG (9.82 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές

Ήδη, θεωρούμε του κύκλους (K)

(K)

,

(K')

και

(K'')

ληφθέντας διά της προηγουμένης διαδικασίας.
Οι ριζικοί άξονες των κύκλων (O)

(O)

,

(K')

και

(K'')

τέμνονται επί της

εις το σημείο

(ριζικό κέντρο).
Οι ριζικοί άξονες των κύκλων (O)

(O)

,

(K'')

και

(K)

τέμνονται επί της

εις το σημείο

.
Οι ριζικοί άξονες των κύκλων (O)

(O)

,

(K)

και

(K')

τέμνονται επί της

εις το σημείο N''

N''

.
Εάν το

ήταν διάφορον του

, τότε ο ριζικός άξων των κύκλων (O)

(O)

και

(K'')

θα έτεμνε την

σε δύο σημεία διάφορα αλλήλων.
Παρατήρηση:
Προφανώς, το σημείον

, είναι το σημείο καθ΄ ο τέμνει την

η εφαπτομένη του κύκλου (O)

(O)

εις το

.