mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 15, 2013 2:51 pm**

επεξήγηση συντμήσεων
ΑΡΧ.= ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ
ΧΗΜ. =ΧΗΜΙΚΟΙ
ΤΟΠ.= ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΙ
ΜΕΤΑΛΛ.= ΜΕΤΑΛΛΕΙΟΛΟΓΟΙ
ΜΗΧ.=ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
ΠΟΛ.=ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ
ΜΗΧΑΝ.=ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2+7x+8=0}$ . Να βρεθούν, χωρίς να λυθεί αυτή, οι τιμές των παραστάσεων $\displaystyle{\rho_1^2+\rho_2^2, \rho_1^3+\rho_2^3}$ , όπου $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ οι ρίζες της εξίσωσης.

2. Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}$ . Να δειχτεί ότι αυτό δεν μπορεί να τεθεί στην μορφή $\displaystyle{(Ax+By+\Gamma {\color{red}z})(\alpha x+\beta y+\gamma {\color{red}z})}$ όπου $\displaystyle{A,B,\Gamma,\alpha,\beta ,\gamma}$ πραγματικοί.

3. Γυμναστής γυμνάζει ορισμένους άντρες τους οποίους τοποθετεί σε σειρά ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο. Κατά την μια τοποθέτηση, του περισσεύουν μερικοί άντρες. Αν όμως προσθέσει ένα ένα άντρα σε κάθε σειρά του τετραγώνου, του λείπουν μερικοί. Ο αριθμός των πλεονάζοντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός που λείπουν στην δεύτερη δίνονται από έναν ορισμένο αριθμό. Να βρεθεί το πλήθος των αντρών.

edit
συμπλήρωση στο 2ο, ευχαριστώ τον Ορέστη (orestisgotsis) που το πρόσεξε

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 15, 2013 3:06 pm**

parmenides51 έγραψε:επεξήγηση συντμήσεων
1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2+7x+8=0}$ . Να βρεθούν, χωρίς να λυθεί αυτή, οι τιμές των παραστάσεων $\displaystyle{\rho_1^2+\rho_2^2, \rho_1^3+\rho_2^3}$ , όπου $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ οι ρίζες της εξίσωσης.

Έστω $\rho_1 ,\rho_2$ οι ρίζες της εξίσωσης.

Από τους τύπους του Vieta:

$\displaystyle{\rho_1+\rho_2=-7}$

και βάζοντας στην εξίσωση τα $\rho_1 ,\rho_2$ και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{\rho_1^2+\rho_2^2+7(\rho_1+\rho_2)+16=0\Leftrightarrow \boxed{\rho_1^2+\rho_2^2 = 33}}$

Τώρα για το δεύτερο ερώτημα πολλαπλασιάζουμαι την εξίσωση με

αντικαθιστούμε πάλι τα $\rho_1 ,\rho_2$ και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{\rho_1^3+\rho_2^3 + 7(\rho_1^2+\rho_2^2)+8(\rho_1+\rho_2)=0 \Leftrightarrow \boxed{\rho_1^3+\rho_2^3 = -175}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 28, 2014 12:27 pm**

parmenides51 έγραψε: 3. Γυμναστής γυμνάζει ορισμένους άντρες τους οποίους τοποθετεί σε σειρά ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο. Κατά την μια τοποθέτηση, του περισσεύουν μερικοί άντρες. Αν όμως προσθέσει ένα ένα άντρα σε κάθε σειρά του τετραγώνου, του λείπουν μερικοί. Ο αριθμός των πλεονάζοντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός που λείπουν στην δεύτερη δίνονται από έναν ορισμένο αριθμό. Να βρεθεί το πλήθος των αντρών.

Αυτό που με προβληματίζει είναι η φράση: Ο αριθμός των πλεονάζοντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός που λείπουν στην δεύτερη δίνονται από έναν ορισμένο αριθμό.

Αν εννοεί ότι ο αριθμός είναι ο ίδιος τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση όπως θα δούμε παρακάτω.

Έστω ότι ο γυμναστής έχει

άντρες , τοποθετεί

άντρες σε κάθε πλευρά του τετραγώνου και του περισσεύουν

άντρες. Τότε έχουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{x = {y^2} + a}$ (1)

Αν τώρα προσθέσει έναν άντρα σε κάθε σειρά του τεραγώνου, έστω ότι του λείπουν

άντρες. Τότε θα έχουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{x = {(y + 1)^2} - b}$ (2)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) είναι:

$\displaystyle{{(y + 1)^2} - b = {y^2} + a \Leftrightarrow y = \frac{{a + b - 1}}{2}}$ .

Οπότε, οι άντρες που έχει ο γυμναστής δίνονται από τον τύπο: $\displaystyle{x = {\left( {\frac{{a + b - 1}}{2}} \right)^2} + a}$ .

Διερεύνηση: Ο αριθμός

των ανδρών πρέπει να είναι θετικός ακέραιος, το ίδιο και οι αριθμοί y,a,b

. Για να είναι όμως το κλάσμα $\displaystyle{\frac{{a + b - 1}}{2}}$ ακέραιος θα πρέπει ο αριθμός a+b-1

να είναι άρτιος, δηλαδή ο a+b

περιττός. Αν τώρα ο αριθμός των πλεοναζόντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός αυτών που λείπουν στη δεύτερη τοποθέτηση είναι ο ίδιος, τότε a+b=2a

, δηλαδή άρτιος, οπότε το πρόβλημα είναι αδύνατο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 28, 2014 1:26 pm**

Περιττό

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 28, 2014 1:59 pm**

george visvikis έγραψε:
parmenides51 έγραψε: 3. Γυμναστής γυμνάζει ορισμένους άντρες τους οποίους τοποθετεί σε σειρά ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο. Κατά την μια τοποθέτηση, του περισσεύουν μερικοί άντρες. Αν όμως προσθέσει ένα ένα άντρα σε κάθε σειρά του τετραγώνου, του λείπουν μερικοί. Ο αριθμός των πλεονάζοντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός που λείπουν στην δεύτερη δίνονται από έναν ορισμένο αριθμό. Να βρεθεί το πλήθος των αντρών.
Αυτό που με προβληματίζει είναι η φράση: Ο αριθμός των πλεονάζοντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός που λείπουν στην δεύτερη δίνονται από έναν ορισμένο αριθμό.
Αν εννοεί ότι ο αριθμός είναι ο ίδιος τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση όπως θα δούμε παρακάτω.

Γιώργο επειδή δεν θεωρώ πιθανό να ήθελαν το πρόβλημα αδύνατο , νομίζω ότι το τετράγωνο $n \times n$

της πρώτης διάταξης , θα μετατραπεί σε ορθογώνιο $n \times (n+1)$ , οπότε το πρόβλημα έχει λύση αν ο

είναι άρτιος ...

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 28, 2014 2:23 pm**

KARKAR έγραψε:
george visvikis έγραψε:
parmenides51 έγραψε: 3. Γυμναστής γυμνάζει ορισμένους άντρες τους οποίους τοποθετεί σε σειρά ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο. Κατά την μια τοποθέτηση, του περισσεύουν μερικοί άντρες. Αν όμως προσθέσει ένα ένα άντρα σε κάθε σειρά του τετραγώνου, του λείπουν μερικοί. Ο αριθμός των πλεονάζοντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός που λείπουν στην δεύτερη δίνονται από έναν ορισμένο αριθμό. Να βρεθεί το πλήθος των αντρών.
Αυτό που με προβληματίζει είναι η φράση: Ο αριθμός των πλεονάζοντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός που λείπουν στην δεύτερη δίνονται από έναν ορισμένο αριθμό.
Αν εννοεί ότι ο αριθμός είναι ο ίδιος τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση όπως θα δούμε παρακάτω.
Γιώργο επειδή δεν θεωρώ πιθανό να ήθελαν το πρόβλημα αδύνατο , νομίζω ότι το τετράγωνο $n \times n$

της πρώτης διάταξης , θα μετατραπεί σε ορθογώνιο $n \times (n+1)$ , οπότε το πρόβλημα έχει λύση αν ο είναι άρτιος ...

Αν είναι έτσι, τότε έχει νόημα.

Έστω ότι ο γυμναστής έχει

άντρες , τοποθετεί

άντρες σε κάθε πλευρά του τετραγώνου και του περισσεύουν

άντρες. Τότε έχουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{x = {y^2} + a}$ (1)

Αν τώρα προσθέσει έναν άντρα σε κάθε σειρά του τετραγώνου, τότε θα έχουμε

σειρές , αλλά y+1

στήλες, οπότε το τετράγωνο γίνεται ορθογώνιο και του λείπουν και πάλι

άντρες. Τότε θα έχουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{x = y(y + 1) - a}$ (2)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) είναι: $\displaystyle{y(y + 1) - a = {y^2} + a \Leftrightarrow y = 2a}$ , άρτιος.

Άρα, το πλήθος των αντρών είναι $\displaystyle{x = 4{a^2} + a}$ , $\displaystyle{a \in N,a \ge 2}$ (Ο ελάχιστος αριθμός αντρών που απαιτούνται ώστε να γίνει αυτό το εγχείρημα είναι

).

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 28, 2014 11:13 pm**

george visvikis έγραψε:
parmenides51 έγραψε: 3. Γυμναστής γυμνάζει ορισμένους άντρες τους οποίους τοποθετεί σε σειρά ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο. Κατά την μια τοποθέτηση, του περισσεύουν μερικοί άντρες. Αν όμως προσθέσει ένα ένα άντρα σε κάθε σειρά του τετραγώνου, του λείπουν μερικοί. Ο αριθμός των πλεονάζοντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός που λείπουν στην δεύτερη δίνονται από έναν ορισμένο αριθμό. Να βρεθεί το πλήθος των αντρών.
Αυτό που με προβληματίζει είναι η φράση: Ο αριθμός των πλεονάζοντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός που λείπουν στην δεύτερη δίνονται από έναν ορισμένο αριθμό.

Αν εννοεί ότι ο αριθμός είναι ο ίδιος τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση όπως θα δούμε παρακάτω.

Έστω ότι ο γυμναστής έχει άντρες , τοποθετεί άντρες σε κάθε πλευρά του τετραγώνου και του περισσεύουν άντρες. Τότε έχουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{x = {y^2} + a}$ (1)

Αν τώρα προσθέσει έναν άντρα σε κάθε σειρά του τεραγώνου, έστω ότι του λείπουν άντρες. Τότε θα έχουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{x = {(y + 1)^2} - b}$ (2)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) είναι:

$\displaystyle{{(y + 1)^2} - b = {y^2} + a \Leftrightarrow y = \frac{{a + b - 1}}{2}}$ .

Οπότε, οι άντρες που έχει ο γυμναστής δίνονται από τον τύπο: $\displaystyle{x = {\left( {\frac{{a + b - 1}}{2}} \right)^2} + a}$ .

Διερεύνηση: Ο αριθμός των ανδρών πρέπει να είναι θετικός ακέραιος, το ίδιο και οι αριθμοί . Για να είναι όμως το κλάσμα $\displaystyle{\frac{{a + b - 1}}{2}}$ ακέραιος θα πρέπει ο αριθμός να είναι άρτιος, δηλαδή ο περιττός. Αν τώρα ο αριθμός των πλεοναζόντων στην πρώτη τοποθέτηση και ο αριθμός αυτών που λείπουν στη δεύτερη τοποθέτηση είναι ο ίδιος, τότε , δηλαδή άρτιος, οπότε το πρόβλημα είναι αδύνατο.

παρόμοια λύση έχει (χωρίς την διερεύνηση

) στο βιβλίο του Πάλλα ''Θέματα Άλγεβρας δοθέντα εις τας εισαγωγικάς εξετάσεις του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου και της Πολυτεχνικής Σχολής Θεσσαλονίκης μετά των λύσεων αυτών (1947-1962) '' που είναι η πηγή μου για τα θέματα ΕΜΠ 1947-1962

επιφυλάσσομαι όμως μέχρι να πάρω στα χέρια μου το αντίστοιχο Δελτίο του Πάλλα με τα θέματα του 1947
γιατί το παραπάνω βιβλίο με τα θέματα Άλγεβρας του ΕΜΠ το διακρίνει μια προχειρότητα
αφενός γιατί δεν περιέχει όλα τα θέματα κάθε εξέτασης που αναφέρει στον τίτλο,
αφετέρου γιατί στα θέματα που ήδη περιέχει, έχει ελλείψεις, του λείπουν ερωτήματα
αλλά και τα ονόματα των πρωταγωνιστών - εξεταστών, οπότε δεν το θεωρώ τελείως αξιόπιστο
για του λόγου το αληθές, δείτε τι συμπληρώσεις έκανα με κόκκινα γράμματα στα θέματα των ετών 1958-1962,
όταν έκανα αντιπαραβολή με τα αντίστοιχα Δελτία πχ. 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07

για τα θέματα 1958-1963 που ανέβασα και συνεχίζω να ανεβάζω αντίστροφα χρονικά,
η (παρούσα) πηγή είναι τα Δελτία του Πάλλα (τα οποία τα θεωρώ προσωπικά αξιόπιστα)
στο μέλλον θα τα κάνω αντιπαραβολή με τα θέματα εξετάσεων του Λιβέρη, όσα πετύχω σε βιβλιοθήκες
(αφού πρώτα εξαντλήσω από τα Δελτία του Πάλλα όλα τα έτη από το 1963 μέχρι και το 1947)

mathematica.gr

ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1947 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΤΟΠ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.