mathematica.gr • Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 26, 2013 8:57 pm

από socrates

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(y)+f(x))=f(yf(x))+x , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 27, 2013 7:36 pm

από Antonis_Z

Καλησπέρα.

Αν $f(0)\neq 0$ ,θέτοντας x=0

x=0

προκύπτει πως η

είναι σταθερή,που δε γίνεται.
Οπότε f(0)=0

f(0)=0

.
Για

y=0

:

f(f(x))=x

,δηλαδή

επί και αμφιμονοσήμαντη.
Για x=f(1)

x=f(1)

:

f(f(1)f(y)+1)=f(y)+f(1)

και επειδή

:επί,αυτή γράφεται f(f(1)y+1)=y+f(1)

f(f(1)y+1)=y+f(1)

.
Επομένως $f(y)=\frac{y-1}{c}+c$ ,όπου $c=f(1)\neq 0$ (αφού είναι αμφιμονοσήμαντη).
Έχουμε,όμως,και $f(0)=0\Leftrightarrow -\frac{1}{c}+c=0\Leftrightarrow c=1,c=-1$ .
Τελικά οι λύσεις είναι f(x)=x

f(x)=x

και

f(x)=-x

,που επαληθεύουν.

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 28, 2013 12:10 am

από panos misiakos

Μια διαφορετική προσέγγιση

Έστω f(0)=a

f(0)=a

Για

x=y=0

στην αρχική λαμβάνουμε f(a)=a

f(a)=a

και για

x=0,y=a

παίρνουμε $f(a^{2}+a)=a+a$
Επιπλέον θετουμε x=0,y=a+1

x=0,y=a+1

και προκυπτει $f(a)=f(a^{2}+a)$ δηλαδή $a=2a\Leftrightarrow a=0$

Ακόμη , για y=0

y=0

στην αρχική έπεται f(f(x))=x

f(f(x))=x

απο όπου συμπεραίνουμε ότι η

ειναι αμφιμονοσήμαντη

Θέτουμε f(1)=b

f(1)=b

Για

x=y

στην αρχική σχέση προκύπτει f(xf(x) +f(x))= f(xf(x)) +x

f(xf(x) +f(x))= f(xf(x)) +x

Απο όπου για x=1

x=1

έχουμε

f(2b)=2

Στην αρχική σχέση για x=b,y=1

x=b,y=1

λαμβάνουμε $f(b^{2}+1)=2b\Rightarrow b^{2}+1=2 \Leftrightarrow b=+/-1$
========================================

b=1

Για

y=1

στην αρχική παίρνουμε f(x+ f(x))=2x

f(x+ f(x))=2x

από όπου για x=f(x)

x=f(x)

έπεται

f(f(x)+x)= 2f(x)

Οπότε λαμβάνουμε την συνάρτηση f(x)=x

f(x)=x

η οποία ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση
========================================

ii)

ii)

b=-1

$f(1)=-1\Rightarrow f(f(1))=f(-1)\Rightarrow f(-1)=1$
Στην αρχικη θέτουμε όπου

το

και λαμβάνουμε $f(-f(y)+1)=f(y)-1\Rightarrow f(-y+1)=y-1\Rightarrow f(y)=-y$
Αφού η

ειναι αμφίμονοσήμαντη .
Η f(x)=-x

f(x)=-x

επαληθεύει την δεδομένη εξίσωση και επομένως αποτελεί λύση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (ιε)

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 08, 2013 12:47 am

από socrates

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=555063