mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 28, 2013 2:37 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(y)+f(x+f(y))= y+f(f(x)+f(y)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Τι γίνεται αν δεν υποθέσουμε ότι η

είναι συνεχής;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 30, 2013 11:56 pm**

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(y)+f(x+f(y))= y+f(f(x)+f(y)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Τι γίνεται αν δεν υποθέσουμε ότι η είναι συνεχής;

Για την περίπτωση που η είναι συνεχής.
Για y=0

στην αρχική έχουμε $f(0)+f(x+f(0))=f(f(x)+f(0))\;\;\color{red}(1)$

Για x=0

, έχουμε $f(y)+f(f(y))=y+f(f(0)+f(y))\iff$

$\iff f(y)+f(f(y))-f(f(0)+f(y))=y\;\;\color{blue}(2)$ .

Έστω $x,y\in\Bbb{R}$ με f(x)=f(y)

.

Τότε

και $f(0)+f(x)=f(0)+f(y)\Rightarrow f(f(0)+f(x))=f(f(0)+f(y))$ .

Άρα $f(x)+f(f(x))-f(f(0)+f(x))= f(y)+f(f(y))-f(f(0)+f(y))\overset{\color{blue}(2)}{\Rightarrow} x=y$ και η

είναι

.

Αφού είναι συνεχής , θα είναι γνησίως μονότονη.

Αν είναι γνησίως φθίνουσα.
Έστω ότι f(0)>0

. Τότε για κάθε $y\in\Bbb{R}$ έχουμε
$f(0)+f(y)>f(y)\Rightarrow f(f(0)+f(y))<f(f(y))\Rightarrow$

$\Rightarrow f(f(0)+f(y))-f(f(y))<0\Rightarrow f(y)-y<0\Rightarrow f(y)<y\;\forall y\in\Bbb{R}$ , άρα για y=0: f(0)<0