mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 12, 2013 9:07 pm**

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο κάποιων θετικών ακέραιων με άθροισμα 1976

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 12, 2013 9:49 pm**

akis15 έγραψε:Να βρεθεί ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο κάποιων θετικών ακέραιων με άθροισμα

Απάντηση: $2\times 3^{658}$ .

1) Αν υπάρχει

στους παράγοντες και αν

κάποιος άλλος παράγοντας, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα $a, \, 1$ με το a+1

. Τότε το άθροισμα δεν αλλάζει αλλά το γινόμενο μεγαλώνει.

2) Αν υπάρχει $a\ge 4$ στους παράγοντες, μπορούμε να το αντικαταστήσουμε με τα 2, a-2

γιατί τότε το άθροισμα δεν αλλάζει αλλά το γινόμενο μεγαλώνει καθώς $2(a-2)\ge a$ .

Άρα το μεγαλύτερο γινόμενο το πετυχαίνουμε με δυάρια και τριάρια.

3) Αν υπάρχουν τρία δυάρια στους παράγοντες, μπορούμε να τα αντικαταστήσουμε με δύο τριάρια γιατί το άθροισμα δεν αλλάζει αλλά το γινόμενο μεγαλώνει καθώς $3\times 3 > 2\times 2 \times 2$ .

Άρα έχουμε το πολύ δύο δυάρια στους παράγοντες. Δεδομένου ότι $1976 = 2 + 3\times 658$ , έχουμε ένα δυάρι και 658

τριάρια. Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 12, 2013 10:02 pm**

Μια σχετική συζήτηση εδώ

mathematica.gr

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή