mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 14, 2013 12:19 am**

Έστω $\Gamma \subset \left(0,1 \right)$ ένα σύνολο πραγματικών αριθμών που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες

$\frac{1}{2}\in\Gamma$ και

αν $\chi \in \Gamma$ τοτε ο $\frac{\chi }{2}$ και ο $\frac{1}{\chi +1}$ ανήκουν στο $\Gamma$

Να αποδειχθεί οτι το σύνολο $\Gamma$ περιέχει όλους τους ρητούς του διαστήματος (0,1)

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 22, 2013 9:33 pm**

Έστω

το σύνολο των ρητών της μορφής $\dfrac{m}{n}$ με m < n

και

. Θα αποδείξουμε επαγωγικά πως $S_n \in \Gamma \forall n \in \mathbb{Z}$ .

Θα το αποδείξω επαγωγικά! Για n = 2

ισχύει από την υπόθεση!
Έστω πως ισχύει για κάθε n < y

. Θα δείξω πως ισχύει και για n = y

.
Έστω

και

. Έχουμε 2 περιπτώσεις:

1) $2x \geq y$ :
Τότε για το $z = \dfrac{y-x}{x} \in \Gamma$ ισχύει: $\dfrac{1}{z+1} = \dfrac{x}{y}$ .
Άρα στο $\Gamma$ ανήκουν όλοι οι ρητοί με παρονομαστή

που είναι μεγαλύτεροι του $\dfrac{1}{2}$

2) y > 2x

:
Τότε υπάρχει $k \in \mathbb{Z}: \dfrac{x}{y}2^{k-1} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{x}{y}2^k$ . 'Ομως τότε ο $\dfrac{x}{y}2^k$ θα ανήκει στο $\Gamma$ άρα και ο $\dfrac{x}{y}$ θα ανήκει στο $\Gamma$ (από την πρώτη ιδιότητα)

Τελικά $S_y \in \Gamma$

Και έτσι επαγωγικά ισχύει το ζητούμενο!

mathematica.gr

Ρητοί και Σύνολο

Ρητοί και Σύνολο

Re: Ρητοί και Σύνολο