mathematica.gr

Ένα αγρότης έχει ένα τετραγωνικό κτήμα εις το κέντρο του οποίο έχει διανοίξει ένα πηγάδι Π, διά τις ανάγκες του ποτίσματος. Σκέπτεται να εγκαταστήσει μία ηλεκτρική αντλία (αφού, ούτως ή άλλως, του χρειάζεται ηλεκτρικό ρεύμα), διότι προσφάτως επεξετάθη το δίκτυο ηλεκτροδότησης και εις την περιοχή του. Ένας δε στύλος, Σ, της ΔΕΗ, είναι πλησίον του κτήματός του.
«Πρώτ΄ απ΄ όλα, θα πρέπει να μετρήσουμε την απόσταση του στύλου από το πηγάδι», του είπε ο ηλεκτρολόγος. Όταν όμως πήγε να κάμει την μέτρηση, αντί του αγρότη, ευρήκε μέσα στο κτήμα ...ένα αγριόσκυλο που τον εμπόδιζε να μπει.
Λοιπόν, κατάφερε να μετρήσει την απόσταση ΣΠ και, πώς;
(Η ρίψη ...φόλας εις τον σκύλο, αποκλείεται.)
...

Αλεξίνοος έγραψε:Ένα αγρότης έχει ένα τετραγωνικό κτήμα εις το κέντρο του οποίο έχει διανοίξει ένα πηγάδι Π, διά τις ανάγκες του ποτίσματος. Σκέπτεται να εγκαταστήσει μία ηλεκτρική αντλία (αφού, ούτως ή άλλως, του χρειάζεται ηλεκτρικό ρεύμα), διότι προσφάτως επεξετάθη το δίκτυο ηλεκτροδότησης και εις την περιοχή του. Ένας δε στύλος, Σ, της ΔΕΗ, είναι πλησίον του κτήματός του.
«Πρώτ΄ απ΄ όλα, θα πρέπει να μετρήσουμε την απόσταση του στύλου από το πηγάδι», του είπε ο ηλεκτρολόγος. Όταν όμως πήγε να κάμει την μέτρηση, αντί του αγρότη, ευρήκε μέσα στο κτήμα ...ένα αγριόσκυλο που τον εμπόδιζε να μπει.



Λοιπόν, κατάφερε να μετρήσει την απόσταση ΣΠ και, πώς;
(Η ρίψη ...φόλας εις τον σκύλο, αποκλείεται.)

Αν δεν έχω κάτι αντιληφθεί λάθος . Όπως δείχνει το σχήμα τα μήκη είναι μετρήσιμα και άρα

(Αφορά την προηγουμένη λύση:)
Από την στιγμή της δημοσίευσης μέχρι την στιγμή της ορθής απάντησης παρήλθαν μόνον...37 λεπτά.
Αγαπητέ Doloros, σας ευχαριστώ: –Με καταστήσατε ...πλουσιότερο κατά 20 ευρώ. Αλλά, τον λόγο δεν θα τον αποκαλύψω, διότι υπάρχουν και άλλοι τρόποι λύσεως.

Ελπίζω να είχατε βάλει και δεύτερο στοίχημα...
Έστω η πλευρά του τετραγώνου.
Αν ο στήλος είναι στην ευθεία των διαγωνίων του, το πρόβλημα είναι τετριμμένο.

Υπολογίζουμε την απόστασή του από την πλησιέστερη γωνία και προσθέτουμε , που είναι το μήκος του πηγαδιού από τη γωνία του κτήματος.

Έστω ότι ο στήλος βρίσεται στη δέσμη που ορίζουν π.χ. οι πλευρές

Αν είχε εργαλεία τοπογράφου (μέτρησης γωνιών) θα μάς διευκόλυνε..

Έστω ότι μπορεί να μετρήσει μόνο τις αποστάσεις του στήλου από τα

Τότε, , δηλαδή προσδιορίσιμο.

Οπότε, προσδιορίσιμο, αφού

Αλεξίνοος έγραψε:Ένα αγρότης έχει ένα τετραγωνικό κτήμα εις το κέντρο του οποίο έχει διανοίξει ένα πηγάδι Π, διά τις ανάγκες του ποτίσματος. Σκέπτεται να εγκαταστήσει μία ηλεκτρική αντλία (αφού, ούτως ή άλλως, του χρειάζεται ηλεκτρικό ρεύμα), διότι προσφάτως επεξετάθη το δίκτυο ηλεκτροδότησης και εις την περιοχή του. Ένας δε στύλος, Σ, της ΔΕΗ, είναι πλησίον του κτήματός του.
«Πρώτ΄ απ΄ όλα, θα πρέπει να μετρήσουμε την απόσταση του στύλου από το πηγάδι», του είπε ο ηλεκτρολόγος. Όταν όμως πήγε να κάμει την μέτρηση, αντί του αγρότη, ευρήκε μέσα στο κτήμα ...ένα αγριόσκυλο που τον εμπόδιζε να μπει.



Λοιπόν, κατάφερε να μετρήσει την απόσταση ΣΠ και, πώς;
(Η ρίψη ...φόλας εις τον σκύλο, αποκλείεται.)

Το πρόβλημα, σε ισοδύναμη διατύπωση, είναι παμπάλαιο. Ακριβώς το ίδιο πρόβλημα αντιμετώπισε ο Θαλής όταν μέτρησε το ύψος της πυραμίδας από την σκιά της. Το μήκος είναι, βέβαια, η σκιά.

Μ.

(Αφορά το προηγούμενο σχόλιο:)
...Μόνο που, αγαπητέ Μιχάλη, πολλοί πιστεύουν ότι, ο Θαλής, δεν μπόρεσε να μετρήσει την ...

Αλεξίνοος έγραψε:Ένα αγρότης έχει ένα τετραγωνικό κτήμα εις το κέντρο του οποίο έχει διανοίξει ένα πηγάδι Π, διά τις ανάγκες του ποτίσματος. Σκέπτεται να εγκαταστήσει μία ηλεκτρική αντλία (αφού, ούτως ή άλλως, του χρειάζεται ηλεκτρικό ρεύμα), διότι προσφάτως επεξετάθη το δίκτυο ηλεκτροδότησης και εις την περιοχή του. Ένας δε στύλος, Σ, της ΔΕΗ, είναι πλησίον του κτήματός του.
«Πρώτ΄ απ΄ όλα, θα πρέπει να μετρήσουμε την απόσταση του στύλου από το πηγάδι», του είπε ο ηλεκτρολόγος. Όταν όμως πήγε να κάμει την μέτρηση, αντί του αγρότη, ευρήκε μέσα στο κτήμα ...ένα αγριόσκυλο που τον εμπόδιζε να μπει.



Λοιπόν, κατάφερε να μετρήσει την απόσταση ΣΠ και, πώς;
(Η ρίψη ...φόλας εις τον σκύλο, αποκλείεται.)

Έχουμε ελλειπή δεδομένα. Για παράδειγμα μια σύγχρονη λύση θα ήταν να πήγε στον στύλο, σημάδεψε με το laser το πηγάδι, κοίταξε την ένδειξη του οργάνου και τελείωσε...

Αλεξίνοος έγραψε:(Αφορά το προηγούμενο σχόλιο:)
...Μόνο που, αγαπητέ Μιχάλη, πολλοί πιστεύουν ότι, ο Θαλής, δεν μπόρεσε να μετρήσει την ...

Έχεις κάποιο αρχαίο κείμενο, κάποιο στοιχείο, που στηρίζει αυτή την άποψη ή είναι αυθαίρετη ερμηνεία;

Ξέρω καλά την αρχαία γραμματεία σε ότι αφορά θέματα Μαθηματικών, και πουθενά δεν έχω συναντήσει κάτι που αμφισβητεί την μέτρηση της πυραμίδας.

Δεν βλέπω γιατί να αποκλείσουμε το ενδεχόμενο να μέτρησε το ο Θαλής, αφού τα Μαθηματικά που απαιτούνται είναι σχεδόν τετριμμένα, σίγουρα πάντως μέσα στην εμβέλειά του.

Μ.

Παρένθεση:
Δεν βλέπω, πάντοτε, την εικόνα διά της οποίας συνοδεύω το αρχικό κείμενο (εάν κάποιος γνωρίζει τον λόγο, ας μου τον πει). Παραθέτω και την ηλεκτρονική διεύθυνσή της:
https://files.one.ubuntu.com/aa9E2DvaR6eQZIbadZIbNg
Εν τω μεταξύ το σχήμα του φίλου, Γιώργου Ρίζου είναι αρκετά κατάλληλο...
Τέλος της παρενθέσεως.
...
Τώρα, θέλω να δώσω δύο απαντήσεις:
1η:
Πράγματι, αγαπητέ Μιχάλη, ουδείς αμφισβητεί το ότι ο Θαλής υπελόγισε το ύψος της Πυραμίδος του Χέοπος. Ισχυρίζονται όμως ότι – όπως είπα – αδυνατούσε να εύρει την , ήτοι, την σκιά του, επειδή (δήθεν) αδυνατούσε να υπολογίσει το, εντός της πυραμίδος, μέρος αυτής. Η “επίσημη” και ...πασίγνωστη άποψη (στηριγμένη σε “ιστορικά στοιχεία”) είναι ότι, λόγω αυτής της αδυναμίας, περίμενε μέχρι που ...να μεσημεριάσει, οπότε ηλιακές ακτίνες θα έπεφταν καθέτως επί των δύο απέναντι πλευρών της βάσης της πυραμίδος (λόγω του προσανατολισμού της πυραμίδος) και, τότε, το κρυμένο μέρος της σκιάς θα ήταν ίσο προς την μισή πλευρά της βάσεως της πυραμίδος... Ορισμένοι δε λέγουν (π.χ. ο Ιερώνυμος, κατά μαρτυρία του Διογένους του Λαερτίου) ότι περίμενε και μία (ή, δύο) συγκεκριμένη ημέρα του έτους οπότε οι ηλιακές ακτίνες, κατά την μεσημβρίαν, προσπίπτουν υπό γωνίαν μισής ορθής ως προς το (οριζόντιο) έδαφος. Δηλαδή, τότε που οι σκιές μας είναι ίσες με ...το “μπόϊ” μας («ὅτε» (αι σκιαί) «ἡμῖν ἰσομεγέθεις εἰσίν »).
Εγώ, (μαζί με σένα...): «Δεν βλέπω γιατί να αποκλείσουμε το ενδεχόμενο να μέτρησε το ο Θαλής, αφού τα Μαθηματικά που απαιτούνται είναι σχεδόν τετριμμένα, σίγουρα πάντως μέσα στην εμβέλειά του.»
2α:
Έάν τα στοιχεία ήσαν ελλειπή, όπως λέγει ο rek2, δεν θα είχαν επιλύσει το πρόβλημα οι προηγούμενοι.
Ως προς τα περί της χρήσεως των ακτίνων laser:
Ο Θαλής είχε κάτι ...παρόμοιο: Την διεύθυνση της , διότι είχε την διεύθυσνη της σκιάς της κατακορύφου ράβδου που είχε εμπήξει εις το έδαφος. Επομένως, διά τον υπολογισμό της , δεν χρειαζόταν, ούτε καν την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος (1η λύση) ή/και του γενικευμένου τοιούτου (2α). Μπορούσε να το επιτύχει εφαρμόζοντας αναλογίες εις τα τρίγωνα (βλέπετε σχήμα) και (χρειάζεται μία παράλληλος μεταφορά της σκιάς της ράβδου εις το σημείο ) ή, εις τα τρίγωνα και (άνευ μεταφοράς της σκιάς).
Δύο ερωτήσεις:
1η: Μπορούσε, ο Θαλής, να υπολογίσει την χωρίς την βοήθεια των τριγώνων του σχήματος, ήτοι, χωρίς την χρήσιν των αναλογιών;
2α: Μπορούσε να το υπολογίσει την χωρίς – ούτε καν – την χρήση της σκιάς; Μίας σκιάς, η οποία έπιπτε επί ενός εδάφους ουδόλως ομοιάζοντος προς μαθηματικό επίπεδο. Της σκιάς μίας πυραμίδος της οποίας η κορυφή ήταν ήδη “ποντικοφαγωνένη” από την φθορά του χρόνου. Αυτή η εκδοχή, της χρήσεως της σκιάς, δεν επαρκεί διά να εξηγήσει την μεγάλη ακρίβεια που επέτυχε (σχεδόν ενενήντα-εννιά τοις εκατόν).

Αλεξίνοος έγραψε:Παρένθεση:

... Ορισμένοι δε λέγουν (π.χ. ο Ιερώνυμος, κατά μαρτυρία του Διογένους του Λαερτίου) ότι περίμενε και μία (ή, δύο) συγκεκριμένη ημέρα του έτους οπότε οι ηλιακές ακτίνες, κατά την μεσημβρίαν, προσπίπτουν υπό γωνίαν μισής ορθής ως προς το (οριζόντιο) έδαφος. Δηλαδή, τότε που οι σκιές μας είναι ίσες με ...το “μπόϊ” μας («ὅτε» (αι σκιαί) «ἡμῖν ἰσομεγέθεις εἰσίν »).

....
.

Σίγουρα τα αναφέρει αυτά ο Λαέρτιος; Που ακριβώς, γιατί δεν τα βρίσκω.

rek2 έγραψε:

Αλεξίνοος έγραψε:Παρένθεση:

... Ορισμένοι δε λέγουν (π.χ. ο Ιερώνυμος, κατά μαρτυρία του Διογένους του Λαερτίου) ότι περίμενε και μία (ή, δύο) συγκεκριμένη ημέρα του έτους οπότε οι ηλιακές ακτίνες, κατά την μεσημβρίαν, προσπίπτουν υπό γωνίαν μισής ορθής ως προς το (οριζόντιο) έδαφος. Δηλαδή, τότε που οι σκιές μας είναι ίσες με ...το “μπόϊ” μας («ὅτε» (αι σκιαί) «ἡμῖν ἰσομεγέθεις εἰσίν »).

....
.

Σίγουρα τα αναφέρει αυτά ο Λαέρτιος; Που ακριβώς, γιατί δεν τα βρίσκω.

Εις την διεύθυνση που παραθέτω, εν συνεχεία, και εις την θέση [27], υπάρχει η εξής φράση:
«Ὁ δὲ Ἱερώνυμος καὶ ἐκμετρῆσαί φησιν αὐτὸν τὰς πυραμίδας ἐκ τῆς σκιᾶς, παρατηρήσαντα ὅτε ἡμῖν ἰσομεγέθεις εἰσίν. »
Η διεύθυνση:
http://remacle.org/bloodwolf/philosophe ... esgrec.htm

Ορισμένοι ερευνητές υποθέτουν ότι, ο Θαλής, αντί του εαυτού του, χρησιμοποίησε μία κατακόρυφη ράβδο την οποία είχε εμπήξει εις το κέντρο ενός χαραγμένου κύκλου ακτίνος ίσης προς το (ορατό) μήκος της. «Ανέμενε, λοιπόν», όπως λέγουν, «πότε η σκιά του άνω άκρου της ράβδου θα ευρεθεί επί της περιφερείας του κύκλου... κτλ, κτλ»
Ιδού ένα κατατοπιστικό σχήμα:
«Τότε», λέγουν, «αυτό που ισχύει διά την σχέση (ισότητος) ράβδου και σκιάς της, θα ισχύει και διά την σχέση ύψους πυραμίδος και σκιάς του. Αλλ΄, αυτό πρέπει να γίνει το μεσημέρι, οπότε οι ηλιακές ακτίνες (λόγω του προσανατολισμού της πυραμίδος) προσκρούουν καθέτως επί τις δύο εκ των πλευρών της βάσεώς της... και το κρυμμένο μήκος της σκιάς του ύψους ισούται προς την μισή πλευρά της»... Ειδεμή, προκύπτει πρόβλημα ...δυσεπίλυτο: Ο υπολογισμός της .
Το πόσο «δυσεπίλυτο» είναι το πρόβλημα αυτό, φάνηκε από της δύο πρώτες, σχεδόν ...ακαριαίες απαντήσεις/λύσεις που έδωσαν οι συνομιλητές του φόρουμ. Ο πρώτος μάλιστα, σχεδόν, απόρησε με την απλοϊότητα του προβλήματος...: «Αν δεν έχω κάτι αντιληφθεί λάθος...» (είπε).
Μετά ταύτα, το ερώτημα που τίθεται, είναι το εξής:
Ποίον θα εμπιστευθούμε: Τον Διογένη τον Λαέρτιο, τον Ιερώνυμο, ή την απλή λογική;
...

Αλεξίνοος έγραψε:

rek2 έγραψε:

Αλεξίνοος έγραψε:Παρένθεση:

... Ορισμένοι δε λέγουν (π.χ. ο Ιερώνυμος, κατά μαρτυρία του Διογένους του Λαερτίου) ότι περίμενε και μία (ή, δύο) συγκεκριμένη ημέρα του έτους οπότε οι ηλιακές ακτίνες, κατά την μεσημβρίαν, προσπίπτουν υπό γωνίαν μισής ορθής ως προς το (οριζόντιο) έδαφος. Δηλαδή, τότε που οι σκιές μας είναι ίσες με ...το “μπόϊ” μας («ὅτε» (αι σκιαί) «ἡμῖν ἰσομεγέθεις εἰσίν »).

....
.

Σίγουρα τα αναφέρει αυτά ο Λαέρτιος; Που ακριβώς, γιατί δεν τα βρίσκω.

Εις την διεύθυνση που παραθέτω, εν συνεχεία, και εις την θέση [27], υπάρχει η εξής φράση:
«Ὁ δὲ Ἱερώνυμος καὶ ἐκμετρῆσαί φησιν αὐτὸν τὰς πυραμίδας ἐκ τῆς σκιᾶς, παρατηρήσαντα ὅτε ἡμῖν ἰσομεγέθεις εἰσίν. »
Η διεύθυνση:
http://remacle.org/bloodwolf/philosophe ... esgrec.htm

Αυτή τη φράση την βρήκα. Τις λεπτομέρειες με τα κόκκινα γράμματα δεν βρίσκω.

Αγαπητέ rek2,
κατ΄ αρχάς, λυπούμαι που προτού να γράψεις το μήνυμά σου είχα, εν τω μεταξύ, διορθώσει/συμπληρώσει το δικό μου... (Τοιουτοτρόπως, φαίνεται ως να μη κατενόησες πράγματα τα οποία, απλώς, δεν τα είχες υπ΄ όψιν σου - και πάλιν, λυπούμαι...)
Τώρα, απαντώ εις αυτό που λέγεις:
«Αυτή τη φράση την βρήκα. Τις λεπτομέρειες με τα κόκκινα γράμματα δεν βρίσκω.» (ότι περίμενε και μία (ή, δύο) συγκεκριμένη ημέρα του έτους οπότε οι ηλιακές ακτίνες, κατά την μεσημβρίαν, προσπίπτουν υπό γωνίαν μισής ορθής ως προς το (οριζόντιο) έδαφος)
Ο Ήλιος, ως γνωστόν, δεν “κινείται” επί ενός σταθερού “επιπέδου” αλλά, το “επίπεδο” αυτό, μέρα με την μέρα, αλλάζει κλίση ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Η αλλαγή της κλίσης είναι παλινδρομική. Άρα δύο φορές κατ΄ έτος έχει την αυτή κλίση – εδώ, μισής ορθής. Αυτό, συμβαίνει στις 21 Νοεμβρίου και στις 20 Ιανουαρίου (το αν αυτό συμβαίνει και κατά την μεσημβρία είναι ένα άλλο ζήτημα...)

Το στοίχημα και η ...“κατεργαριά”:
Αγαπητοί φίλοι,
το θέμα, φαίνεται πως έχει εξαντληθεί... Και, όμως, ευρίσκεται εις την αρχή...
Η επανατροφοδότησή του την οποία πρέπει να προκαλέσω, κωλύεται εξ αιτίας της αμηχανίας που μου προεκάλεσε μία ...“κατεργαριά” που έχω διαπράξει εις βάρος των συνομιλητών μου και την οποία θα ήθελα, προ πολλού, να εξομολογήσω/αποκαλύψω (και διά να κριθώ) αλλά, φοβόμουν ότι, έτσι, το πράγμα θα χειροτέρευε.
Πάντως, η (περαιτέρω) απόκρυψη της αληθείας (και δη μεταξύ μαθηματικών) αποκλείεται.
Λοιπόν, θα τα πω όσο πιο απλά γίνεται.
Η μυθιστορηματική και η πειραματική απόδειξη:
Έχω συντάξει μία πραγματεία, υπό μορφήν αφηγήματος, σχετικώς με τον τρόπο ή, μάλλον, με τους τρόπους διά των οποίων θα ήταν δυνατόν, ο Θαλής να υπολογίσει το ύψος της Πυραμίδος του Χέοπος... Και όχι μόνον, ο Θαλής, αλλά όποιος ετίθετο ενώπιον του προβλήματος – αρκεί να είχε στοιχειώδεις γεωμετρικές αλλά και τεχνικές γνώσεις. Αυτή είναι η κεντρική παραδοχή του αφηγήματος περί της οποίας παρέχεται μία ...μυθιστορηματική απόδειξη. Αναζητούσα (και αναζητώ) τρόπους ώστε, αυτή η απόδειξη, να γίνει και “πειραματική”: Π.χ., να θέσω το πρόβλημα ενώπιον ανθρώπων (π.χ. παιδιών) οι οποίοι αγνοούν τα ευρέως διαδιδόμενα (τα έχω, ήδη, αναφέρει και, ίσως, να τα επαναλάβω).
Το στοίχημα, η απάτη, η προσβολή και η πλήξη:
Όταν ήλθα διά πρώτην φορά εις το φόρουμ σας (θα έπρεπε να το είχα κάμει νωρίτερα...) και διεπίστωσα το υψηλό επίπεδο, είπα σε ένα φίλο και συνεργάτη μου:
«Στοιχηματίζω ότι εάν θέσω το πρόβλημα (που υποτίθεται ότι δεν μπορούσε να επιλύσει ο Θαλής) εις αυτό το φόρουμ, προτού να περάσει μία ώρα, θα έχουν βρει την λύση».
Το πράγμα επαληθεύτηκε ...και ας ήταν και Κυριακή: Εντός μικροτέρου χρονικού διαστήματος, δύο συνομιλητές πρόλαβαν να το δουν (δεν θα το “πήραν χαμπάρι” και αμέσως...) και να δημοσιεύσουν λύσεις συνοδευόμενες και από σχήματα.
Το “στοίχημα” απαιτούσε, “πείραμα” και το “πείραμα” ειδικές συνθήκες... μεταξύ των οποίων και η άγνοια των μετεχόντων περί τίνος επρόκειτο. Και επειδή, εδώ, ουδείς αγνοεί το θέμα, επεχείρησα μία παραπλάνηση (εξ ου και η απλοϊκή ιστοριούλα εις την οποία το ενέταξα) την οποία απεκάλυψε ο Μιχάλης (http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 42#p191106) αλλ΄ αφού το πείραμα είχε συντελεστεί.
Όλα αυτά όμως, (ολίγον απέχουν από του να) συνιστούν κατάχρηση εμπιστοσύνης και απάτη. Η δε εξομολογία της δευτερώνει το κακό, διότι επιπροσθέτει και την προσβολή προς τους . Το κακό θα τριτώσει εάν προβώ εις πλήρη απολογία, διότι, εις τα προηγούμενα θα επιπροσθέσω και την ενδεχομένη πλήξη που θα προκαλέσω. (Όποιος θέλει ...να πλήξει, ας επισκευθεί ένα blog και την ανάρτησή υπό τον τίτλο «Το στοίχημα και η ...“κατεργαριά”» (http://thalespyramis.blogspot.gr/2013/1 ... ml#forum_m). Αυτός δε είναι ένας πολύ “άκομψος” τρόπος πρόσκλης – ελπίζω ότι θα υπάρξουν και “κομψότεροι”.)
Το πειραματικό δεδομένο και το δεδομένο φαινόμενο:
Εν πάση περιπτώσει, έχουμε ενώπιόν μας το αποτέλεσμα ενός “πειράματος” το οποίο δεν επιδέχεται αμφισβήτηση...: Ο Θαλής (ο καθείς), μπορούσε να μετρήσει την απόσταση του κέντρου της βάσεως της πυραμίδος από το σημείο της σκιάς της κορυφής της ευκολότατα.
Ταυτοχρόνως, έχουμε ένα φαινόμενο:
Μία διαδεδομένη πεποίθηση περί του αντιθέτου η οποία επαναλαμβάνεται σε κάθε σχετική περίπτωση (βλέπε διαδίκτυο) και ουδαμού αμφισβητείται. Την πεποίθηση αυτή εκφράζει (και, ορισμένως, την προκαλεί) με τον καλλίτερο τρόπο, κάποιος (αποβιώσας το 2010) μαθηματικός, καθηγητής της ιστορίας των επιστημών, σε κάποιο γαλλικό πανεπιστήμιο. Εις την 63η σελίδα ενός βιβλίου του το οποίο επιθυμώ να μην αναφέρω (προβάλω) γράφει επί λέξει:
«Όταν η διεύθυνση των ακτίνων του ήλιου σχηματίζει μία τυχαία γωνία με την πλευρά της βάσης –πράγμα που είναι και το πιο συνηθισμένο–, η σκιά σχηματίζει ένα τυχαίο τρίγωνο και... ο Θαλής, δεν μπορεί να κάνει τίποτα.»
Το εν λόγω φαινόμενο, υπό το φως του αποτελέσματος του πειράματος γίνεται εκτυφλωτικό (...κυριολεκτικώς) και καλούμεθα να το ερμηνεύσουμε:
Προσωπικώς, απορώ:
«Πώς γίνεται, τόσοι ευφυείς μαθηματικοί, να αποδέχονται αναντιρρήτως μία τόσον απλοϊκή (και συκοφαντική θα έλεγα) εκδοχή διά την στάση του Θαλή απέναντι στο πρόβλημα» – όπως αυτή που περιέγραψα εις τα προηγούμενα σχόλιά μου.
Η εξήγηση που δίδω είναι ότι ...απορούν και λέγουν: «Μωρέ τί νά 'χει κάνει, ο Θαλής; ...Τί νά 'χει κάνει;»... και δεν σκέπτονται το τι θα έκαμαν αυτοί εάν ήσαν εις την θέση του... (εξ ου και η ανάγκη του ... “περάματος”).
Το προηγούμενο, σχετίζεται με τον τρόπο που αντιμετωπίζονται τα μαθηματικά (θεωρήματα κτλ), κυρίως από το εκπαιδευτικό σύστημα, ήτοι, ως “τετελεσμένα” ιστορικά γεγονότα – όχι ως θέματα προς μαθητική έρευνα.
«Είναι αληθές ότι “μας τελείωσαν” οι “Θαλήδες”;»
Αυτό, θα μπορούσα είναι τίτλος ενός θέματος που θα δημοσίευα, εδώ, εάν δεν ήταν τίτλος κεφαλαίου (του 33ου) του αφηγήματος που ανέφερα (οπότε θα είχαμε “γκρίζα διαφήμιση”).
Αλήθεια: –Πόσοι “Θαλήδες”, “Πυθαγόρες”, κτλ, έχουν περάσει απαρατήρητοι από τα σχολικά θρανία επειδή κανένας δεν τους έθεσε ενώπιον των αυτών προβλημάτων που αντιμετώπισαν εκείνοι;
...
Εις το σημείο αυτό, νομίζω πως, το κείμενο άρχισε να κουράζει... Ας ακούσω και καμμία άλλη γνώμη προτού να συνεχίσω...

Γιατί δεν ξεκινάμε από τα απλά; Πως λέγεστε; Η ανωνυμία εγείρει ερωτηματικά...

Όσο αφορά για το βιβλίο (με τόσες παραπομπές μπερδεύεσαι) τελικά το βρήκα εδώ

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Γιατί δεν ξεκινάμε από τα απλά; Πως λέγεστε; Η ανωνυμία εγείρει ερωτηματικά...

Όσο αφορά για το βιβλίο (με τόσες παραπομπές μπερδεύεσαι) τελικά το βρήκα εδώ

Αγαπητέ,
η απάντηση εις την (δικαιολογημένη;) ένστασή σου περί της «ανωνυμίας» μου, απαιτεί μία διευκρινιστική ερώτηση:
Διά τί, το «Αλεξίνοος», συνιστά «ανωνυμία» ενώ, το «Κώστας Χατζόπουλος» ή, το «Γεώργιος Σταυρόπουλος» δεν συνιστά όταν, αυτοί, δεν είναι γνωστοί; Το δεύτερο, μάλιστα, όπερ είναι και το αναγραφόμενο εις την “ταυτότητά” μου, συνιστά ψευδεπωνυμία καθόσον ουδεμία σχέση έχω με την γεωργία ενώ τον πατέρα μου τον έλεγαν Λεωνίδα και όχι Σταύρο. (Περί ...σταυρών και ...σταυροκοπημάτων δε, ούτε λόγος να γίνεται...)
Πάντως, όλα αυτά (τα προσωπικά μου...), δεν αφορούν το δημοσιευθέν θέμα...
...
Τώρα, ως προς το βιβλίο:
Θεώρησα σκόπιμο να το αναφέρω – ως “πραγματεία” – διά να δηλώσω ότι, το θέμα, το έχω πραγματευθεί. Δεν υπάρχει καμμία παραπομπή εις αυτό, ΕΝ ΣΥΝΟΛΩ, ακριβώς διά να μη «μπερδεύεσαι» (εξ ου και η ανάρτηση ανά κεφάλαιο – εις το blog μου). Το εάν θέσω μία ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ παραπομπή, προκειμένου να καταστήσω περισσότερο κατανοητό ένα άλλο θέμα κάποιας προσεχούς δημοσίευσης, εδώ, αυτό, είναι άλλο θέμα...
Εάν εσύ έκρινες απαραίτητο να θέσεις την παραπομπή, ήταν δικαίωμά σου (και δεν παραλείπω να σε ευχαριστήσω). Το αυτό πράττω κι΄ εγώ ...αλλού. Όμως, νομίζω ότι, σε ένα φόρουμ, πηγαίνεις διά να συνομιλήσεις με δραστήριους συνομιλητές – όχι διά να αναζητήσεις “προσωπικούς” επισκέπτες, με περιορισμένη δυνατότητα συνομιλίας (όπως γίνεται σε ένα blog).
...
Κατόπιν όλων αυτών και προκειμένου να επαναφέρω την συζήτηση εις το τεθέν πρόβλημα επισπεύδω την δημοσίευση του επομένου:

Τίτλος:
Οι δύο πρώτες λύσεις του προβλήματος (doloros και Γιώργου Ρίζου), θεωρούμενες από μία μη δηλωμένη οπτική:
Ερώτηση:
Πως θα επέλυε το πρόβλημα κάποιος ο οποίος δεν εγνώριζε τα θεωρήματα που χρησιμοποιήθηκαν;
Την άγνοια αυτή, είναι εύλογο να την υποθέσουμε: Όχι μόνον για τον ηλεκτρολόγο αλλά και για τον Θαλή, καθόσον, ο Πυθαγόρας, ήταν μεταγενέστερος αυτού... Και παρά το γεγονός ότι το θεώρημα του Πυθαγόρα υπήρχε ως πρακτική γνώση, ενδεχομένως, ο Θαλής (“πατήρ” της εννοίας της απόδειξης) να μην ήθελε να το χρησιμοποιήσει αναπόδεικτο.

Παρατήρηση:
Η άγνοια, πολλάκις, γίνεται αιτία μεγάλης ...επινοητηκότητος (διά της οποίας “αναπληρώνεται”) και δη τεχνικής/“ματορικής”. Ένα σχετικό παράδειγμα εμπεριέχεται εις την 2α εκ δύο συνεχομένων αναρτήσεων τις οποίες θα αναφέρω εν συνεχεία. (Η 1η αφορά την “εκφώνηση” ενός προβλήματος και, η 2α, την λύση). Το θέμα σχετίζεται με την άποψη ότι ο τρόπος δια του οποίου, ο Θαλής, επέλυσε το πρόβλημα, ήταν περισσότερο “μαστορικός” και λιγότερο “γεωμετρικός” ή, μάλλον, και τα δύο, εάν υποθέσουμε (όπως ο γράφων) ότι, η γεωμετρία, είναι (κατ΄ αρχάς, τουλάχιστον) μία “μαστορική”, επιστήμη...

Οι παραπομπές:
1η: Το τρίγωνο που ...κατεδαφίστηκε. (http://thalespyramis.blogspot.gr/2013/1 ... st_12.html)
2α: «Είτε αγνοείς τα θεωρήματα των διχοτόμων ή, δεν γνωρίζεις πως να τα χρησιμοποιείς...» (http://thalespyramis.blogspot.gr/2013/1 ... t_925.html)

Μία κριτική ...παράδοξη (παρά την δόξαν):
Ας μου επιτραπεί να κρίνω τις δύο λύσεις που πρότειναν οι συνομιλητές, Doloros και Γιώργος Ρίζος.
Αυτή την κριτική, την υποβάλλω ως έναυσμα δια την εξέταση ενός θέματος το οποίο θεωρώ σημαντικό. Εις την σχετική συζήτηση – εάν διεξαχθεί – θα καταθέσω τις σκέψεις που έχω μέχρι στιγμής, ελπίζοντας ότι, αυτές, θα αναπτυχθούν περαιτέρω:
Πρόκειται περί της συγκριτικής συσχετίσεως δύο θεωριών: Αυτής που αφορά την διαχείριση υλικών πραγμάτων και εκείνης που αφορά την διαχείριση άυλων (οι όροι «υλικά», «άυλα» δεν είναι εντελώς δόκιμοι – είναι “δοκιμαστικοί”).
Σημείωση:
Δεν εννοώ τον ...γνωστό “διαχωρισμό” μεταξύ θεωρίας και πράξης – ασύστατο κατά την γνώμη μου, καθόσον δεν γνωρίζω κάποια θεωρία της απραξίας ούτε κάποια (ανθρωπίνη) πράξη αθεώρητη.
...
Το θέμα της “άσκησης”:
Ας δεχθούμε ότι η απλοϊκή (παιδαριώδης) ιστορία διά της οποίας εισήγαγα το θέμα είναι απολύτως πραγματική. Άρα το πρόβλημα τίθεται, κυρίως, ως τεχνικό, ως “μαστορικό”:
Έχουμε ένα ηλεκτρολόγο, ο οποίος πάει για να μετρήσει μία απόσταση, μέσα στα χωράφια... Και ξαφνικά, του προκύπτει ότι πρέπει να την υπολογίσει. Τόσον αυτός, όσον και ο Θαλής, θα πρέπει να ασκήσουν μία θεωρία η οποία περιλαμβάνει περισσότερα (ή, διαφορετικά) στοιχεία από εκείνα που διαχειρίζεται ένας μαθηματικός, όπως: Ανωμαλίες του εδάφους, φυσικά εμπόδια κτλ. Και οι ενέργειές τους (εάν είναι εφικτές) απαιτούν πολύ κόπο. Τόσον αυτός όσο και ο Θαλής, γνωρίζουν πολύ λιγότερα μαθηματικά από όσα γνωρίζει ένας σημερινός μαθηματικός.
Οι δύο λύσεις:
Ας δεχθούμε ότι οι λύσεις που προτάθηκαν είναι αντιπροσωπευτικές του τρόπου διά του οποίου ενεργούν οι μαθηματικοί. Και ας δούμε την καταλληλότητά τους ως προς τρία βασικά πράγματα που εξετάζουν οι μάστορες και ένα τέταρτο το οποίο εξετάζουν ...ενίοτε: Τον κόπο, τον χρόνο, την ακρίβεια και τις γνώσεις που δεν διαθέτουν:
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα που χρησιμοποιείται εις την πρώτη λύση το γνωρίζουν (σχεδόν) οι πάντες. Εξ αυτού, θα μπορούσε, κάποιος, να συμπεράνει ότι, αυτή η λύση, είναι καταλληλότερη διά την περίπτωσιν... έναντι της δευτέρας, ήτοι, διά της χρήσεως του “Νόμου των Συνημιτόνων”: Διότι μπορεί μεν η ...άγνοια των νόμων να απαγορεύεται αλλά, τον συγκεκριμένο νόμο, των αγνοούν ακόμη και ...οι δικηγόροι. Εξ άλλου, την εποχή του Θαλή, δεν είχε ...ψηφιστεί, ακόμη.
Εν τούτοις, η πρώτη λύση απαιτεί γεωμετρικές κατασκευές επί ενός εδάφους το οποίο ουδόλως ομοιάζει προς ένα μαθηματικό επίπεδο:
Π.χ., η κατασκευή της καθέτου επί την , απαιτεί την χάραξη δύο ίσων εκτός εκείνου δια του οποίου θα προσδιορισθούν επί της κέντρα τους, (ισαπέχοντα από το ). Και αν υποθέσουμε ότι το μέσον της θα κατασκευασθεί γεωμετρικώς (και όχι διά διαιρέσεως της διά δύο) απαιτείται η κατασκευή τεσσάρων κύκλων διότι πρέπει να ορισθούν δύο σημεία της μεσοκαθέτου της προς το μέρος αυτής προς το οποίο δεν παραμονεύει ο σκύλος. Επτά κύκλοι ακτίνων δεκάδων μέτρων μέσα στα χωράφια...
Όταν ένας μαθηματικός τεθεί ενώπιον αυτών των δυσκολιών, ίσως, θα πει:
«Και,... δεν τα μεταφέρω όλα αυτά επάνω στο χαρτί;...» («υπό κλίμακα»).
Εάν όμως δεν το πει, δεν μπορούμε να υποθέσουμε ότι ...«εννοείται». Μάλλον, εκείνο που “εννοείται” είναι ότι, όλα αυτά, έχουν μεταφερθεί, είτε από κάποιον άλλον ή, ...από μόνα τους. Εξ άλλου, αυτή η μεταφορά, έχει ένα μειονέκτημα: Ότι είναι προαιρετική. Δηλαδή, επειδή, “η δουλειά” μπορεί να γίνει και χωρίς αυτήν (ή, έτσι νομίζει αυτός που δεν την έχει επιχειρήσει), υπάρχει κίνδυνος ανακριβιών.
Η δευτέρα λύση, παρότι απαιτεί περισσότερες γνώσεις, έχει το πλεονέκτημα ότι δεν απαιτεί γεωμετρικές κατασκευές... υπό την προϋπόθεση όμως ότι θα χρησιμοποιηθεί ... “εξωγεωμετρική” βοήθεια (κοντολογίς: αριθμητικές πράξεις και, ενδεχομένως η χρήση ηλεκτρονικής αριθμομηχανής). Η (αμιγώς) γεωμετρική λύση απαιτεί, επίσης, κατασκευές. Με την μόνη και μεγάλη διαφορά ότι αυτές θα γίνουν, μόνον, επάνω στο χαρτί. Η μέτρηση των , , δεν είναι κατασκευή. Η μεταφορά τους στο χαρτί, είναι κατασκευή αλλά, ...στο χαρτί. (Ας αποσιωπήσουμε το γεγονός ότι η εν λόγω μεταφορά δεν ...νομιμοποιείται από κάποιο αξίωμα.). Εξ άλλου, αυτή η μεταφορά, έχει ένα πλεονέκτημα: Ότι είναι υποχρεωτική. Δηλαδή, “η δουλειά”, δεν μπορεί να γίνει χωρίς αυτήν (διότι ουδείς θα επιχειρήσει να επιλύσει γεωμετρικώς μία δευτεροβάθμια εξίσωση πάνω στο χώμα). Τοιουτοτρόπως δε, αποφεύγονται(;) οι ανακρίβειες.
...
Εδώ, προτού να παύσω να σας κουράζω (προς το παρόν) θα παραθέσω ένα πρώτο συμπέρασμα και έστω προς εξέτασιν:
Υπάρχει, τουλάχιστον, μία περίπτωση κατά την οποία ένα τεχνικό πρόβλημα απαιτεί περισσότερες γνώσεις από ένα γεωμετρικό. Εάν αυτή η περίπτωση δεν συνιστά εξαίρεση αλλά, είναι μέρος ενός συστήματος κανόνων, τότε, αυτό το σύστημα ίσως να απαιτεί μελέτη. (Εξ όσων γνωρίζω, η μελέτη αυτή, δεν έχει πραγματοποιηθεί ούτε από τους τεχνίτες ούτε από τους μαθηματικούς.)
...
Πρόσκληση:
Υπάρχει μία λύση του προβλήματος που αντιμετώπισε ο Θαλής την οποία, ορισμένοι, την βρήκαν διασκεδαστική:
14. Η λύσις της ταβέρνας.

Η (μία) τρίτη λύση:
«Η λύση της ταβέρνας» (εις την οποία παρέπεμψα εις το προηγούμενο μήνυμά μου) είναι μία μέθοδος “ενδιάμεση” υπό την έννοια ότι είναι αποδεκτή (ή, μη απορριπτέα) τόσο από ένα τεχνίτη, ξυλουργό, όσο και από ένα μαθηματικό: Η παράλληλη μεταφορά (μόνον) ενός τμήματος ευθείας επί του εδάφους και η μέτρηση αυτού, δεν είναι κάτι πολύ δυσκολότερο από το την μέτρηση των διαστάσεων ενός τετραγώνου και των αποστάσεων ενός σημείου από δύο κορυφές του. Όσο για την μεταφορά όλων αυτών εις το χαρτί, δεν τίθεται ζήτημα.
Σημείωση:
Αυτή όμως, την αποδοχή, εν συνεχεία, την αμφισβητεί ο ίδιος ο ξυλουργός (που την επενόησε), μόλις πληροφορείται τις ακριβείς διαστάσεις της πυραμίδος.
...
Εάν υποθέσουμε ότι ο ηλεκτρολόγος της παιδικής ιστορίας εύρε κάποια λύση, μπορούμε να πιθανολογήσουμε τον τρόπο που θα την εκθέσει:
«Πήρα τα μέτρα... να πούμε: έκανα την αποτύπωση... και πήγα στο γραφείο μου – με την ησυχία μου – έκανα το σχέδιο και μέτρησα την .»
Περί αυτού, ένας μαθηματικός θα έλεγε το εξής:
«Δοθέντων των , , το πεντάγωνο ή, καλλίτερα, το τετράπλευρο είναι κατασκευάσιμο.»
Αλλά, διά τί να κάμει αυτή την κατασκευή ή, την παράλληλο μεταφορά; Αφού, και χωρίς αυτήν, μπορεί να υπολογίσει την (άσε που, αν κάμει, ...φοβάται πως θα νομίσουν ότι ...δεν μπορεί να υπολογίσει ένα τόσο απλό πράγμα).
Εδώ, θα παραθέσω ένα δεύτερο συμπέρασμα και έστω, επίσης, προς εξέτασιν::
Υπάρχει, τουλάχιστον, μία περίπτωση κατά την οποία ένα τεχνικό πρόβλημα απαιτεί διαφορετική στρατηγική από ένα γεωμετρικό. Εάν και αυτή η περίπτωση δεν συνιστά εξαίρεση αλλά, είναι μέρος ενός συστήματος κανόνων, τότε, αυτό το σύστημα, το περιέχον τέτοιες περιπτώσεις, ίσως να απαιτεί μελέτη. Εξ όσων γνωρίζω, η μελέτη αυτή, δεν έχει πραγματοποιηθεί ούτε από τους τεχνίτες ούτε από τους μαθηματικούς.

Ένα πρόσθετο σχόλιο υπό μορφήν ερωτήσεως:
Ας υποθέσουμε ότι δίδουμε... όχι: δείχνουμε σε ένα παιδί ένα τρίγωνο και του ζητάμε να φτιάξει ένα ίσο προς αυτό,... όταν θα πάει στο σπίτι του... Εν όσω σκέπτεται, του λέμε (ώστε να ακούσει και την ορολογία):
«Ποία κριτήρια ισότητας θα χρησιμοποιήσεις...»
Και, ακόμη:
«Πρόσεξε, να είναι ικανά, και όχι περιττά...»
Το ερώτημα, βεβαίως, είναι πόσοι μαθητές θα απαντήσουν ορθώς και εν συνεχεία πόσοι (με την, ενδεχόμενη βοήθεια του καθηγητού) θα μπορέσουν να παράσχουν βεβαίωση των ...ισχυρισμών τους, δηλαδή, απόδειξη.
Όταν ο μαθητής βλέπει δύο ίσα τρίγωνα, “πλάϊ-πλάϊ” ή, το ένα κάτω από το άλλο, και αν ακόμη αντιληφθεί το ...τι – επί τέλους – αποδεικνύεται, δεν αντιλαμβάνεται την αξία της απόδειξης, ήτοι, δεν έχει κίνητρο. Την δε έλλειψη κινήτρου δεν την αναπληρώνει ο βαθμός ή, ...το ποδήλατο που θα του πάρει ο μπαμπάς...
–Καλά,... μιά σκέψη έκαμα...

Αλεξίνοος έγραψε:Ένα αγρότης έχει ένα τετραγωνικό κτήμα εις το κέντρο του οποίο έχει διανοίξει ένα πηγάδι Π, διά τις ανάγκες του ποτίσματος. Σκέπτεται να εγκαταστήσει μία ηλεκτρική αντλία (αφού, ούτως ή άλλως, του χρειάζεται ηλεκτρικό ρεύμα), διότι προσφάτως επεξετάθη το δίκτυο ηλεκτροδότησης και εις την περιοχή του. Ένας δε στύλος, Σ, της ΔΕΗ, είναι πλησίον του κτήματός του.
«Πρώτ΄ απ΄ όλα, θα πρέπει να μετρήσουμε την απόσταση του στύλου από το πηγάδι», του είπε ο ηλεκτρολόγος. Όταν όμως πήγε να κάμει την μέτρηση, αντί του αγρότη, ευρήκε μέσα στο κτήμα ...ένα αγριόσκυλο που τον εμπόδιζε να μπει.
Λοιπόν, κατάφερε να μετρήσει την απόσταση ΣΠ και, πώς;
(Η ρίψη ...φόλας εις τον σκύλο, αποκλείεται.)
...

Μια άλλη ιδέα πολύ περιληπτική λόγω περιορισμένου χρόνου...
Κατασκεύασε ορθή γωνία με κορυφή το S και επέκτεινε τις 2 ευθείες έως ότου το σημείο P να ανήκει στην πλευρά του ορθογωνίου που κατασκευάσαμε . Οι 2 κάθετες πλευρές θα είναι εκτός τετραγώνου.
Η ζητούμενη απόσταση είναι υπολογίσιμη ...
Φιλικά,
Δημήτρης