mathematica.gr

Η χορδή του κύκλου είναι σταθερή . Αναζητούμε τη θέση του σημείου του κύκλου , ώστε

η ευθεία που συνδέει τα μέσα των αντίστοιχα και η , να τέμνονται επί του κύκλου .

Το είναι σημείο γνωστό (τομή της μετά του κύκλου ).
Το ειναι η τομή του κύκλου μετά της παραλλήλου της , της συμμετρικής αυτής ως προς το σημείο .
Εν γένει έχουμε δύο λύσεις συμμετρικές ως προς την μεσοκάθετο της , εφόσον η απόσταση του από την είναι μικρότερη του .
Διά έχουμε μία λύση (σχήμα).

Από και άρα, το σημείο ανήκει στον σταθερό κύκλο έστω με διάμετρο το και ομοιόθετον του δοσμένου κύκλου με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο και λόγο

Επομένως, για να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει ο κύκλος να τέμνει ή έστω να εφάπτεται της δια του σταθερού σημείου παράλληλης ευθείας προς την δοσμένη χορδή

Έστω το μέσον του και αποδεικνύεται εύκολα ότι :

(a) - Όταν η ευθεία εφάπτεται του κύκλου ισχύει , όπου είναι η ακτίνα του κύκλου και τότε το πρόβλημα έχει μία λύση.

(b) - Εάν είναι , το πρόβλημα έχει δύο λύσεις συμμετρικές ως προς την μεσοκάθετη ευθεία του

(c) - Εάν είναι το πρόβλημα δεν έχει λύση, γιατί η δια του σημείου παράλληλη ευθεία προς την δεν τέμνει τον κύκλο

Κώστας Βήττας.