mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 01, 2013 8:58 pm**

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:[0,1] \rightarrow \mathbb R$ , για την οποία ισχύουν τα εξής:

$\bullet$ $f(x) \neq 0 , x \in [0,1]$ .

$\bullet$ f(0)=1

.

$\bullet$ $\displaystyle \int_{0}^{1}{f(t)dt}=1$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε: $\displaystyle \int_{0}^{\xi}{f(t)dt}=\xi f(\xi)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 01, 2013 9:12 pm**

Θεώρημα Ρολ στην $\displaystyle\ g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} }}{x},x \in \left( {0,1} \right]}\\ {1,x = 0} \end{array}} \right.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 02, 2013 6:59 am**

Re: Ακόμα μία ύπαρξη...

Θεώρημα Ρολ στην $\displaystyle\ g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} }}{x},x \in \left( {0,1} \right]}\\ {1,x = 0} \end{array}} \right.$

νομίζω ότι πρέπει να δειχθεί η συνέχεια στο μηδέν στην λύση του Βασίλη.

Μια αντιμετώπιση είναι με ΘΜΤολ και όρια

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 24, 2013 12:47 pm**

Να δώσω ολοκληρωμένη λύση στη λύση του κ. Βασίλη (mathxl)
Θεωρώ τη συνάρτηση:

$\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle{\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt} &x\in (0,1] \\ 1& x=0 \end{matrix}\right.}$ .
Η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x=0}$ αφού $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt \right )=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1=g(0)}$ εφόσον η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη.

Τότε η $\displaystyle{g}$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θ. $\displaystyle{Rolle}$ εφόσον είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,1]}$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(0, 1)}$ και $\displaystyle{g(0)=1=g(1)=\int_{0}^{1}f(t)dt=1}$ (από υπόθεση)
Οπότε από θεώρημα $\displaystyle{Rolle}$ υπάρχει ,τουλάχιστον , ένα $\displaystyle{\xi \in (0, 1)}$ το οποίο είναι $\displaystyle{g'\left ( \xi \right )=0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \int_{0}^{\xi }f(t)dt=\xi \cdot f(\xi )}$

Νομίζω τώρα είναι εντάξει..