mathematica.gr

Έχω κάποιες ερωτήσεις στον ορισμό του συμπαγούς συνόλου.
1)Λέμε ότι πρέπει να ισχύει για κάθε οικογένεια ανοικτών συνόλων G , και να υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη κλπ κλπ
Το θέμα είναι ότι εδώ ορίζουμε το συμπαγές ως ένωση ανοικτών συνόλων. Θα είχε διαφορά αν η κάλυψη δεν ήταν ανοικτή δηλαδή αν η οικογένεια συνόλων G αποτελούνταν από κλειστά σύνολα;
2) Αν δεν χρησιμοποιούμε Heine-Borel για να δείξουμε ότι το Α είναι συμπαγές πρέπει να βρίσκουμε δική μας κάλυψη; Δεν υπάρχει άλλος τρόπος;
3)Αυτό είναι άσχετο με τα παραπάνω. Τι είναι το περίβλημα; Το ψάχνω στο internet αλλά δεν βρήκα τίποτα...
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

FERMA έγραψε:Έχω κάποιες ερωτήσεις στον ορισμό του συμπαγούς συνόλου.
1)Λέμε ότι πρέπει να ισχύει για κάθε οικογένεια ανοικτών συνόλων G , και να υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη κλπ κλπ
Το θέμα είναι ότι εδώ ορίζουμε το συμπαγές ως ένωση ανοικτών συνόλων. Θα είχε διαφορά αν η κάλυψη δεν ήταν ανοικτή δηλαδή αν η οικογένεια συνόλων G αποτελούνταν από κλειστά σύνολα;

Προσοχή, δεν ορίζουμε ακριβώς το σύνολο ως ένωση ανοικτών. Το σωστό είναι ότι "εάν το περιέχεται σε ένωση ανοικτών τότε (εξ ορισμού) περιέχεται ήδη σε ένωση μόνο πεπερασμένου πλήθους από αυτά".

Το ότι είναι ανοικτά τα σύνολα της κάλυψης είναι κεφαλαιώδους σημασίας. Δεν είναι τόπος να το εξηγήσω εδώ. Σίγουρα τα κλειστά δεν μας κάνουν και δεν ισοδυναμεί με το παραπάνω. Για παράδειγμα το με την συνήθη τοπολογία του είναι συμπαγές πλην όμως η κάλυψη από κλειστά μονοσύνολα δεν έχει πεπερασμένη υποκάλυψη (αφού απειροσύνολο).

FERMA έγραψε: 2) Αν δεν χρησιμοποιούμε Heine-Borel για να δείξουμε ότι το Α είναι συμπαγές πρέπει να βρίσκουμε δική μας κάλυψη;

Όχι. Η κάλυψη δεν είναι της επιλογής μας. Η κάλυψη δίνεται, και για αυτή που δίνεται πρέπει να αποδείξουμε ότι έχει πεπερασμένη υποκάλυψη.

FERMA έγραψε: 3)Αυτό είναι άσχετο με τα παραπάνω. Τι είναι το περίβλημα; Το ψάχνω στο internet αλλά δεν βρήκα τίποτα...
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Που τον βρήκες τον όρο; Μήπως εννοείς "το σύνορο (boundary)"; Αν ναι, το σύνορο του είναι το

Φιλικά,

Μιχάλης

Ένας ισοδύναμος ορισμός για τα συμπαγή σύνολα που εμπλέκει κλειστά σύνολα , είναι ο εξής :
Κάθε συλλογή κλειστών συνόλων με την ιδιότητα οποιαδήποτε πεπερασμένα από αυτά να έχουν μη κενή τομή έχει και την ιδιότητα η τομή όλων των συνόλων της να είναι μη κενή.

Ένας λόγος για τον οποίο δεν είναι "καλό" να αντικαταστήσεις τα ανοιχτά από τα κλειστά σύνολα στον αρχικό ορισμό είναι γιατί τότε κάθε άπειρος Hausdorff (σε αυτόν τον χώρο τα μονοσύνολα είναι κλειστά σύνολα) χώρος θα ήταν μη συμπαγής όπως εξήγησε ο κ.Μιχάλης πιο πάνω με ένα παράδειγμα. Έτσι τα συμπαγή σύνολα θα ταυτίζονταν με τα πεπερασμένα σύνολα... κακό !
Κατά την γνώμη μου καταλαβαίνεις περισσότερο την έννοια της συμπάγειας μέσα απο τα θεωρήματα που εμπλέκεται η εν λόγω έννοια.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Που τον βρήκες τον όρο; Μήπως εννοείς "το σύνορο (boundary)"; Αν ναι, το σύνορο του είναι το
Φιλικά,
Μιχάλης

Το βρήκα τελικά στο net. Νομίζω δεν είναι το σύνορο. Δείτε στην σελίδα 7
http://www.math.upatras.gr/~zaf/Downloa ... nnotes.pdf

Και εγώ πάντως αρχικά το σύνορο κατάλαβα ότι εννοούσες. Ο όρος που ψάχνεις είναι η κλειστή θήκη ή closure.
http://en.wikipedia.org/wiki/Closure_(topology)