mathematica.gr • Δυνατή σε bolzano

Σελίδα 1 από 1

Δυνατή σε bolzano

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 06, 2013 10:02 am

από math246

Αν η

είναι συνεχής στο $\mathbb R$ και f(f(x))=x

f(f(x))=x

για κάθε $x\in \mathbb R$
να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \mathbb R : f(\xi)=\xi$

Re: Δυνατή σε bolzano

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 06, 2013 10:20 am

από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ

Επειδή μου φάνηκε ότι τη χρειάζεσαι γρήγορα απαντώ με υπόδειξη

Η

είναι 1-1 και συνεχής άρα γνησίως μονότονη .
Υποθέτουμε ότι ισχύει $f\left( x \right)\ne x$ για κάθε

. Αν είναι γνησίως αύξουσα τότε
$f\left( x \right)>x\overset{f\uparrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,f\left( f\left( x \right) \right)>f\left( x \right)\Rightarrow x>f(x)$ άτοπο , όμοια για γνησίως φθίνουσα ...

Re: Δυνατή σε bolzano

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 06, 2013 10:59 am

από math246

Άλλη λύση χωρίς την χρήση της μονοτονίας βλέπετε;

Re: Δυνατή σε bolzano

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 06, 2013 11:13 am

από Mihalis_Lambrou

math246 έγραψε:Άλλη λύση χωρίς την χρήση της μονοτονίας βλέπετε;

Η λύση του Χρήστου εύκολα προσαρμόζεται και με αυτόν τον περιορισμό:

Αν για κάθε

έχουμε

f(x)>x

τότε

f(f(x)) > f(x)

δηλαδή

x > f(x)

, άτοπο. 'Ομοια αν για κάθε

έχουμε

f(x)<x

. 'Αρα για κάποια $x_0, \, x_1$ είναι $f(x_0) \ge x_0, \, f(x_1) \le x_1$ . Εφαρμόζουμε τώρα Bolzano στην f(x)-x

f(x)-x

.

M.

Re: Δυνατή σε bolzano

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 06, 2013 11:13 am

από Μπάμπης Στεργίου

math246 έγραψε:Αν η είναι συνεχής στο $\mathbb R$ και για κάθε $x\in \mathbb R$
να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \mathbb R : f(\xi)=\xi$

Αν όχι, τότε η g(x)=f(x)-x

g(x)=f(x)-x

διατηρεί πρόσημο. Έστω ότι είναι αρνητική, δηλαδή f(x)<x

f(x)<x

.Τότε :

x= f(f(x)<f(x)

, άτοπο .

Δεν χρειαστήκαμε τη μονοτονία, αλλά μόνο την f(x)<x

f(x)<x

που δίνει (αν βάλουμε όπου

το

f(x)

) ότι

f(f(x))<f(x)

Δεν εξέτασα όμως αν η ίδια μέθοδος δουλεύει και για θετική

, χτύπησε για μέσα !

Μπάμπης

*** Με πρόλαβε ο Μιχάλης, το αφήνω για την επικοινωνία και μόνο

Re: Δυνατή σε bolzano

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 06, 2013 12:18 pm

από AIAS

math246 έγραψε:Αν η είναι συνεχής στο $\mathbb R$ και για κάθε $x\in \mathbb R$
να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \mathbb R : f(\xi)=\xi$

Αν

f(0) = 0

το πρόβλημα λύθηκε.
Αν f(0) = a

f(0) = a

τότε $f(f(0)) = f(a) \Rightarrow f(a) = 0$ .
Πρώτο ενδεχόμενο:
a > 0

a > 0

στο διάστημα [0,a]

[0,a]

η συνάρτηση g(x) = f(x) - x

g(x) = f(x) - x

πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano

Bolzano

αφού :
1. Είναι συνεχής στο [0,a]

[0,a]

2.

g(0) = f(0) = a > 0

3.

g(a) = - a < 0

.
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (0,a)$ με $g(\xi ) = 0 \Rightarrow f(\xi ) = \xi$
Δεύτερο ενδεχόμενο :
a > 0

a > 0

. Τώρα ομοίως εργαζόμενοι στο διάστημα [a,0]

[a,0]

προκύπτει το ζητούμενο.

AIAS

AIAS

Re: Δυνατή σε bolzano

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 06, 2013 1:15 pm

από math246

Σας ευχαριστώ όλους πάρα πολύ!