mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 10, 2013 7:28 pm**

: 3-semicircles.png (15.59 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Δίνονται τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία A,B,C

με

. Στο ημικύκλιο διαμέτρου

παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε το

να τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στα $E,\,Z$ και το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

. Να δείξετε ότι DE = ZH

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 11, 2013 1:20 am**

Καλημέρα.

: 12-11.MN.PNG (11.61 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Στο σχήμα είναι K,P

τα μέσα των AB , BC

και

τα μέσα των AH ,ZE

αντίστοιχα. Τότε έχουμε $MK\perp AH ,PN\perp ZE$ ενώ $\hat{ADC}=90^{0}$ αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Συνεπώς είναι $MK\parallel PN\parallel DC$ και από το Θ. του Θαλή προκύπτουν :

$\frac{AM}{MN}=\frac{AK}{KP}\Leftrightarrow \frac{m}{m+k+n}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow 3m=m+k+n\Leftrightarrow {\color{blue} 2m=k+n}$ και

$\frac{DN}{AM}=\frac{PC}{AK}\Leftrightarrow \frac{n+p}{m}=2\Leftrightarrow {\color{blue} 2m=n+p}$

Έτσι παίρνουμε p=k