mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 13, 2009 11:39 am**

1)Δύο σημεία Α και Β κινούνται πάνω στους ημιάξονες Ox και Oy έτσι ώστε να ισχύει (ΟΑ)+(ΟΒ)=2. Με διαγώνιο το ΑΒ κατασκευάζουμε τρτράγωνο ΑΓΒΔ. Να αποδείξετε ότι η μία από τις κορυφές Γ και Δ μένει σταθερή, ενώ η άλλη κινείται σε ευθεία γραμμή

2)Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και σημεια Κ,Λ,Μ των ευθειων ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ αντιστοιχως, ετσι ωστε να ισχυει:

ΑΚ=κΚΒ ΒΛ=λΛΓ ΓΜ=μΜΑ (ΑΚ, ΚΒ και ΒΛ, ΛΓ και ΓΜ, ΜΑ διανύσμτα)

Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν ισχύει κλμ=-1 (θεώρημα Μενελάου)

3)Έστω ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ (Ο η ορθή) και μεταβλητό σημείο Μ της πλευράς ΑΒ. Αν ${M}_{1},{M}_{2}$ είναι οι προβολές του Μ πάνω στις πλευρές ΟΑ και ΟΒ αντιστοίχως, να δείξετε ότι:
i)η μεσοκάθετη του ${M}_{1},{M}_{2}$ διέρχεται από σταθερό σημείο και
ii) η κάθετη από το Μ στο ${M}_{1}{M}_{2}$ διέρχεται από σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 13, 2009 12:57 pm**

Ξεκινάω με την πρώτη άσκηση

Έστω Α(α, 0) και Β(0,β) με α > 0 , β > 0 και α + β = 2. Έστω Γ(x, y ) μια από τις άλλες κορυφές του τετραγώνου.
Η κορυφή Γ καθορίζεται από τις σχέσεις:

$\displaystyle{ \left| {\mathop {A\Gamma }\limits^ \to } \right| = \left| {\mathop {B\Gamma }\limits^ \to } \right| }$ (1) και $\displaystyle{ \mathop {{\rm A}\Gamma }\limits^ \to \cdot \mathop {B\Gamma }\limits^ \to = 0 }$ (2)

όπου $\displaystyle{ \mathop {{\rm A}\Gamma }\limits^ \to = (x - \alpha ,y) }$ και $\displaystyle{ \mathop {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to = (x,y - \beta ) }$

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sqrt {(x - \alpha )^2 + y^2 } = \sqrt {x^2 + (y - \beta )^2 } } \\ {x(x - \alpha ) + y(y - \beta ) = 0} \\ {\alpha + \beta = 2} \\ \end{array}} \right\} }$

Λύνοντας το σύστημα μετά από πάρα πολλές πράξεις προκύπτουν δύο λύσεις:

$\displaystyle{ \left( {x,y} \right) = \left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right) }$

$\displaystyle{ \left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{\alpha - \beta }}{2}, - \frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right) }$

Από την πρώτη λύση προκύπτει ότι η μια κορυφή του τετραγώνου είναι σταθερή με συντεταγμένες (1/2, 1/2) και από την δεύτερη λύση έχουμε

2x = α – β , 2y = - α +β όπου με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι η άλλη κορυφή του τετραγώνου κινείται στην ευθεία x + y = 0

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 13, 2009 1:54 pm**

και η δεύτερη

Έστω ότι τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά.
Θεωρούμε σύστημα αξόνων xOy τέτοιο ώστε τα σημεία Κ, Λ και Μ να βρίσκονται στον άξονα xx΄.

Είναι $\displaystyle{ \mathop {B\Lambda }\limits^ \to = \lambda \cdot \mathop {\Lambda \Gamma }\limits^ \to }$
επομένως οι συντεταγμένες του σημείου Λ είναι:
$\displaystyle{ \Lambda \left( {\frac{{x_B + \lambda x_\Gamma }}{{1 + \lambda }},\frac{{y_B + \lambda y_\Gamma }}{{1 + \lambda }}} \right) }$
(από τις παλιές καλές εποχές των δεσμών)

Επειδή το σημείο Λ βρίσκεται στον άξονα xx΄ έχουμε:
$\displaystyle{ \frac{{y_B + \lambda y_\Gamma }}{{1 + \lambda }} = 0 \Rightarrow y_B + \lambda y_\Gamma = 0 \Rightarrow \lambda = - \frac{{y_B }}{{y_\Gamma }} }$

όμοια έχουμε ότι:
$\displaystyle{ \mu = - \frac{{y_\Gamma }}{{y_{\rm A} }},\kappa = - \frac{{y_{\rm A} }}{{y_{\rm B} }} }$
όπου με πολλαπλασιασμό κατά μέλη προκύπτει ότι: κλμ = - 1

Αντίστροφο

Έστω κλμ = - 1 και τα σημεία Κ, Λ , Μ δεν είναι συνευθειακά.
Ονομάζουμε με Κ΄ την τομή των ευθειών ΑΒ και ΛΜ, τότε τα σημεία Κ΄, Λ, Μ είναι συνευθειακά,
επομένως ισχύει: κ΄λμ = - 1 όπου το κ΄ είναι πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε
$\displaystyle{ \mathop {{\rm A}{\rm K}'}\limits^ \to = \kappa ' \cdot \mathop {{\rm K}'{\rm B}}\limits^ \to }$

Από τις σχέσεις κλμ = - 1 και κ΄λμ = - 1 προκύπτει ότι κ = κ΄ συνεπώς τα σημεία Κ και Κ΄ ταυτίζονται ,
άρα τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 13, 2009 6:11 pm**

Εστω Α(0,α) και Β(α,0) Τότε το σημείο Μ βρίσκεται πανω στν ευθεία χ+y=α
Αν $\displaystyle{ {\rm M}_1 {\rm{(\lambda }}{\rm{,0) }} }$ και $\displaystyle{ {\rm M}_2 {\rm{(0}}{\rm{,\alpha - \lambda ) }} }$ επομένως οι συντεταγμένες του είναι Μ(λ,α-λ)
Οι συντεταγμένες του μέσου του $\displaystyle{ {\rm{{\rm M}}}_{\rm{1}} {\rm{{\rm M}}}_{\rm{2}} }$ = (λ/2,(α-λ)/2). Αν (ε) η μεσοκάθετος στο τμήμα
$\displaystyle{ {\rm{{\rm M}}}_{\rm{1}} {\rm{{\rm M}}}_{\rm{2}} }$ τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι $\displaystyle{ \frac{{ - \lambda }}{{\lambda - \alpha }} }$ και η εξίσωση της δινεται απο τη σχέση
$\displaystyle{ y - \frac{{a - \lambda }}{2} = \frac{{ - \lambda }}{{\lambda - \alpha }}\left( {\chi - \frac{\lambda }{2}} \right) }$
η οποία μετα απο πράξεις δίνει $\displaystyle{ 2\lambda (\chi + y - \alpha ) + (\alpha ^2 - 2\alpha y) = 0 }$ Απο όπου χ=y= $\displaystyle{ \frac{\alpha }{2} }$ Αρα η μεσοκάθετος περνά απο το σημείο $\displaystyle{ (\frac{\alpha }{2},\frac{\alpha }{2}) }$
Για το δευτερο ερώτημα εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο και βρίσκουμε ότι η κάθετος διέρχεται
απο το σημείο (α,α)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 13, 2009 10:34 pm**

Να 'σται καλά, ευχαριστώ..

mathematica.gr

"Τσιμπημένες" ασκήσεις β΄ κεφαλαίου (εξίσωση ευθείας)

"Τσιμπημένες" ασκήσεις β΄ κεφαλαίου (εξίσωση ευθείας)

Re: "Τσιμπημένες" ασκήσεις β΄ κεφαλαίου (εξίσωση ευθείας)

Re: "Τσιμπημένες" ασκήσεις β΄ κεφαλαίου (εξίσωση ευθείας)

Re: "Τσιμπημένες" ασκήσεις β΄ κεφαλαίου (εξίσωση ευθείας)

Re: "Τσιμπημένες" ασκήσεις β΄ κεφαλαίου (εξίσωση ευθείας)