mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 29, 2013 10:20 pm**

Τετράπλευρο ABCD

είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου AD = 4

.

Αν είναι AB = BC = 1

, να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 29, 2013 10:54 pm**

: SXHM.png (6.22 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

Aπό το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{ABD}$ βρίσκουμε $\displaystyle{BD=\sqrt{15}}$ . Οι γωνίες που έχουν σημειωθεί στο σχήμα είναι ίσες

με $\displaystyle{w}$ διότι είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν σε ίσα τόξα. Είναι $\displaystyle{\eta \mu w =\frac{1}{4}}$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu w =\frac{\sqrt{15}}{4}}$ (αυτά προέκυψαν από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABD}$ .)

Από τον νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{\eta \mu w}=\frac{CA}{\eta \mu \widehat{ABC}}\Rightarrow \frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{CA}{\eta \mu (180-2w)}\Rightarrow}$

$\displaystyle{4=\frac{CA}{\eta \mu 2w}\Rightarrow 4=\frac{CA}{2\eta \mu w \sigma \upsilon \nu w}\Rightarrow CA=8.\frac{1}{4}.\frac{\sqrt{15}}{4}\Rightarrow}$

$\displaystyle{CA=\frac{\sqrt{15}}{2}}$ . Και τώρα από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ACD}$ βρίσκουμε την ζητούμενη

πλευρά $\displaystyle{CD}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 29, 2013 11:13 pm**

Επιχειρώ και εγώ μια διαφορετική λύση χωρίς πλήρη ανάλυση.
Φέρνω

και

οι οποίες τέμνονται (κάθετα) έστω στο

. Φέρνω και το απόστημα της χορδής

έστω

.
Τότε το τετράπλευρο CKOE

είναι ορθογώνιο και το μήκος της ζητούμενης πλευράς είναι ίσο με το διπλάσιο του μήκους του τμήματος

. Από το τρίγωνο ΑΒΟ

με νόμο συνημιτόνων υπολογίζω το συνημίτονο της γωνίας ABO (=1/4)

Οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ABE

με υποτείνουσα BA=1

έχω ότι

. Άρα

. Οπότε το μήκος της

είναι

Δημήτρης Γιαννόπουλος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 29, 2013 11:34 pm**

hlkampel έγραψε:Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου .

Αν είναι , να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς .

: Τέταρτη πλευρά.png (26.38 KiB) Προβλήθηκε 1095 φορές

Αν οι

διασταυρωθούν στο

το τρίγωνο DTA

είναι ισοσκελές με κορυφή το

, αφού η

είναι ταυτόχρονα ύψος και διχοτόμος .

Αν $TC = y\,,CD = x$ θα έχουμε : $\left\{ \begin{gathered} x + y = 4 \hfill \\ y(x + y) = 1 \cdot 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = 4 \hfill \\ y(x + y) = 1 \cdot 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{(x,y) = (\frac{7}{2},\frac{1}{2})}$

( δύναμη σημείου

ως προς το ημικύκλιο ) .

Φιλικά Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 29, 2013 11:40 pm**

Με τα Χρόνια Πολλά και τις ευχές μου στους συναδέλφους της παρέας και ιδιαιτέρως στον φίλο μου Δημήτρη από την όμορφη Ιστιαία και την οικογένεια του ως επίσης και στον Νίκο (Doloros).

Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πτολεμαίου στο ABCD

παίρνουμε:

$\sqrt {16 - CD^2 } \cdot \sqrt {15} = CD + 4 \Rightarrow 16CD^2 + 8CD + 1 = 225 \Rightarrow ...CD = \frac{7}{2}.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 29, 2013 11:59 pm**

hlkampel έγραψε:Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου .

Αν είναι , να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς .

.. καλησπέρα ..

μια παρόμοια λυση με τον Δημήτρη(Γιαννόπουλο)

Επειδή $\bigtriangleup ABO=\bigtriangleup BOC(\pi -\pi -\pi )\Rightarrow \hat{ABO}=\hat{OBC}\mathop\Rightarrow\limits^{AB=BC}BO\perp AC$ οπότε $BO\parallel CD\Rightarrow \hat{BOA}=\hat{CDA}\,\,\,(1)$

Με την βοήθεια ν. συνημιτόνου στο τρίγωνο $ABO\displaystyle\Rightarrow AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}-2\cdot AO\cdot BO\cdot \sigma \upsilon \nu (\hat{AOB)}$ $\displaystyle\Rightarrow ...\Rightarrow\sigma \upsilon \nu (\hat{AOB)}=\frac{7}{8}\,\,\,\,(2)$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ACD

(

διάμετρος) με την βοήθεια των (1),(2) έχουμε: $\displaystyle\sigma \upsilon \nu (\hat{CDA})=\frac{CD}{AD}\Rightarrow ...\Rightarrow CD=\sigma \upsilon \nu (\hat{CDA})\cdot AD\Rightarrow \boxed{CD=\frac{7}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 30, 2013 8:51 am**

hlkampel έγραψε:Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου .

Αν είναι , να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς .

Καλημέρα και καλή πρωτοχρονιά στους φίλους.

: Βρείτε-την-τέταρτη-πλευρά.jpg (30.9 KiB) Προβλήθηκε 1032 φορές

Από Πυθαγόρειο στο $\triangleleft ABD:\,BD = \sqrt {15}$ . Είναι $\triangleleft BAC\mathop \sim \limits^{1:2} \triangleleft OBD \Rightarrow AC = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{2}$ και από Πυθαγόρειο στο $\triangleleft ACD:\,CD = \dfrac{7}{2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 30, 2013 9:38 am**

Αφού υπάρχουν ήδη έξι λύσεις, ας τις κάνουμε επτά!

: 30-12-2013 Γεωμετρία.jpg (14.97 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

Από Ν. Συνημιτόνων στο AOB

είναι $\displaystyle {\rm A}{{\rm B}^2} = {\rm A}{{\rm O}^2} + {\rm B}{{\rm O}^2} - 2{\rm A}{\rm O} \cdot {\rm B}{\rm O} \cdot \sigma \upsilon \nu \omega \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \omega = \frac{7}{8}$

Οπότε $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \left( {180^\circ - 2\omega } \right) = - \sigma \upsilon \nu 2\omega = - 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega + 1 = - 2 \cdot \frac{{49}}{{64}} + 1 = - \frac{{49}}{{32}} + 1 = - \frac{{17}}{{32}}$

Άρα $\displaystyle C{D^2} = O{C^2} + O{D^2} - 2OC \cdot OD \cdot \sigma \upsilon \nu \left( {180^\circ - 2\omega } \right) = 8 + 8 \cdot \frac{{17}}{{32}} = \frac{{49}}{4} \Rightarrow CD = \frac{7}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 30, 2013 9:55 am**

hlkampel έγραψε:Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου .

Αν είναι , να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς .

Καλημέρα και Χρόνια πολλά σε όλους τους άριστους Γεωμέτρες

: Βρείτε την τέταρτη πλευρά.png (18.94 KiB) Προβλήθηκε 997 φορές

Από Νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ABO

βρίσκω $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega = \frac{7}{8}}$

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο COD

:
$\displaystyle{C{D^2} = 8 - 8\sigma \upsilon \nu ({180^0} - 2\omega ) = 8 + 8(2\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega - 1) = 16 \cdot \frac{{49}}{{64}}}$ .

Οπότε, $\displaystyle{CD = \frac{7}{2}}$

Είπα να τις κάνω εγώ επτά τις λύσεις, αλλά με πρόλαβε ο συνονόματος. Το αφήνω για τον κόπο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 30, 2013 10:12 am**

Ας κάνουμε τις λύσεις

.

: Βρείτε-την-τέταρτη-πλευρά_2.png (27.17 KiB) Προβλήθηκε 985 φορές

Από $\triangleleft BAC \sim \triangleleft OBD \Rightarrow AC = \dfrac{{BD}}{2}$ . Φέρω $CE \bot DB\,(E \in AD)$ και τότε $\triangleleft CAE \sim \triangleleft DBC \Rightarrow AE = \dfrac{1}{2}$ . Η

είναι διχοτόμος της $C\widehat DE$ (και κάθετη στη

), συνεπώς $CD = DE = 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 30, 2013 1:30 pm**

hlkampel έγραψε:Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου .

Αν είναι , να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς .

Απλώς και μόνο για να γίνουν 9

[attachment=0]Βρείτε την τέταρτη πλευρά.png[/attachment].

Έχουμε ήδη πει προηγουμένως ότι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega = \frac{7}{8}}$ .

Από Νόμο Ημιτόνων στο CDO

:

$\displaystyle{\frac{2}{{\eta \mu \omega }} = \frac{x}{{\eta \mu ({{180}^0} - 2\omega )}} \Leftrightarrow \frac{2}{{\eta \mu \omega }} = \frac{x}{{\eta \mu 2\omega }} \Leftrightarrow x = 2\frac{{2\eta \mu \omega \sigma \upsilon \nu \omega }}{{\eta \mu \omega }} = 46\upsilon \nu \omega }$ , απ' όπου:

$\displaystyle{CD = \frac{7}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 30, 2013 3:33 pm**

hlkampel έγραψε:Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου .

Αν είναι , να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς .

Μια ακόμη (10η) λύση κυρίως για να ευχαριστήσω τους συναδέλφους-φίλους που ασχολήθηκαν με την άσκηση και να ευχηθώ Χρόνια πολλά.

Αν η

τέμνει την

στο

τότε $OE \bot AC$ και το

είναι μέσο της

.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ABE

και

είναι όμοια αφού $\widehat {BAE} = \widehat {BDA}$ ως εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα.

Έτσι: $\displaystyle\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AD}} \Leftrightarrow BE = \frac{1}{4}$

$\displaystyle OE = OB - BE \Leftrightarrow OE = 2 - \frac{1}{4} \Leftrightarrow OE = \frac{7}{4}$

Στο τρίγωνο ACD

το

ενώνει τα μέσα των πλευρών

και

, έτσι:

$\displaystyle CD = 2 \cdot OE \Leftrightarrow CD = \frac{7}{2}$

mathematica.gr

Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά

Re: Βρείτε την τέταρτη πλευρά