mathematica.gr • Εύρεση τιμής συνάρτησης!

Σελίδα 1 από 1

Εύρεση τιμής συνάρτησης!

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 02, 2014 6:17 pm

από matha

Δίνεται η συνάρτηση

$\displaystyle{f:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{Z},}$

$\displaystyle{f(m,n)=\begin{cases}n+1,~~~~~~~~~\text{\gr αν}~ ~~~~~~m=0 \\ f(m-1,1), ~\text{\gr αν}~m>0,~ n=0\\ f(m-1, f(m,n-1)),\text{\gr αν}~ m>0,~n>0 \end{cases}}$

Υπολογίστε την τιμή $\displaystyle{f(2,2).}$

Re: Εύρεση τιμής συνάρτησης!

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 02, 2014 7:41 pm

από Demetres

Έχει ήδη δοθεί ότι f(0,n) = n+1

f(0,n) = n+1

για κάθε

.

Ισχυρίζομαι ότι f(1,n) = n+2

f(1,n) = n+2

για κάθε

.

Θα το αποδείξω επαγωγικά: Για n=0

n=0

είναι

f(1,0) = f(0,1) = 2

ισχύει. Έστω λοιπόν ότι f(1,k) = k+2

f(1,k) = k+2

. Τότε

f(1,k+1) = f(0,f(1,k)) = f(0,k+2) = k+3

. Άρα πράγματι από μαθηματική επαγωγή ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Ισχυρίζομαι τώρα ότι f(2,n) = 2n+3

f(2,n) = 2n+3

για κάθε

. (Άρα και f(2,2) = 7

f(2,2) = 7

.)

Πάλι με επαγωγή: Για n=0

n=0

είναι

f(2,0) = f(1,1) = 3

ισχύει. Έστω λοιπόν ότι f(2,k) = 2k+3

f(2,k) = 2k+3

. Τότε

f(2,k+1) = f(1,f(2,k)) = f(1,2k+3) = 2k+5 = 2(k+1) + 3

. Άρα πράγματι από μαθηματική επαγωγή και αυτός ο ισχυρισμός είναι αληθής.

Ας το δυσκολέψουμε κι' άλλο: Ας υπολογιστεί το f(4,4)

f(4,4)

.