mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 09, 2014 10:14 pm**

Είπα να βγούμε και λίγο προς τα έξω βρε παιδί μου...

Να δείξετε ότι η ευθεία:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y + 2z - 5 = 0}\\ {2x - y - z - 1 = 0} \end{array}} \right.}$

ανήκει στο επίπεδο με εξίσωση: 4x-3y+7z-7=0.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 09, 2014 10:26 pm**

chris_gatos έγραψε:Είπα να βγούμε και λίγο προς τα έξω βρε παιδί μου...

Να δείξετε ότι η ευθεία:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y + 2z - 5 = 0}\\ {2x - y - z - 1 = 0} \end{array}} \right.}$

ανήκει στο επίπεδο με εξίσωση:

Ένας τρόπος:

Έστω z=t

.

$\begin{cases}5x-3y=5-2t\\2x-y=1+t\end{cases}\iff \begin{cases}x=5t-2\\y=9t-5\end{cases}$ .

Άρα οποιοδήποτε σημείο της ευθείας είναι της μορφής P(5t-2,9t-5,t)

που ανήκει στο επίπεδο 4x-3y+7z-7=0

αφού:

$4(5t-2)-3(9t-5)+7t-7=\cdots=0$ , επομένως η ευθεία ανήκει στο επίπεδο αυτό.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 09, 2014 10:28 pm**

chris_gatos έγραψε:Είπα να βγούμε και λίγο προς τα έξω βρε παιδί μου...

Να δείξετε ότι η ευθεία:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y + 2z - 5 = 0}\\ {2x - y - z - 1 = 0} \end{array}} \right.}$

ανήκει στο επίπεδο με εξίσωση:

Λύνοντας το σύστημα των δύο πρώτων ως προς $x,\,y$ θα βρούμε ότι τα σημεία της ευθείας είναι τα
$(x,y,z)=(5z-2, \, 9z-5, \, z)$ . Με αντικατάσταση αυτών στο δοθέν επίπεδο, βλέπουμε ότι ικανοποιεί την εξίσωσή του.

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 09, 2014 10:44 pm**

Κάπως αλλιώς:
Από τις υποθέσεις έχουμε τις εξής σχέσεις για εσωτερικά γινόμενα:
$\left( 5,-3,2\right) \cdot \left( x,y,z\right) =5$ , $\left( 2,-1,-1\right) \cdot \left( x,y,z\right) =1$
'Αρα:
$2\left( 5,-3,2\right) \cdot \left( x,y,z\right) -3\left( 2,-1,-1\right) \cdot \left( x,y,z\right) =2\cdot 5-3\cdot 1$
δηλαδή
$\allowbreak 4x-3y+7z=\allowbreak 7$
Μαυρογιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 11, 2025 2:56 pm**

chris_gatos έγραψε: Κυρ Φεβ 09, 2014 10:14 pm Είπα να βγούμε και λίγο προς τα έξω βρε παιδί μου...

Να δείξετε ότι η ευθεία:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y + 2z - 5 = 0}\\ {2x - y - z - 1 = 0} \end{array}} \right.}$

ανήκει στο επίπεδο με εξίσωση:

Καλημέρα...

Το θέμα έρχεται από τα παλιά, έχει όμως ενδιαφέρον(τουλάχιστον για μένα...)

Πάντα θέματα της Στερεομετρίας αρέσκομαι να τα βλέπω όσο γίνεται πιο παραστατικά,

φαντάζομαι να το επιζητούν και οι μαθητές(φοιτητές και διάφοροι άλλοι...)

Το θέμα το δούλεψαν ανωτέρω αξιόλογοι συνάδελφοι με πείρα και γνώση. Εγώ, όπως είπα

θα το δώσω λίγο πνοή πραγματικής αίσθησης του χώρου που μας περιβάλλει...

Μερικοί άκουσα να λένε ότι η δουλειά που πετυχαίνουμε με τα λογισμικά σε ότι αφορά

τη γενική απεικόνιση του χώρου, σκοτώνει τη φαντασία! Δεν ξέρω, το άκουσα, αυτό θα

μελετηθεί στο μέλλον. Δουλειά χρειάζεται...

Στο θέμα μας...

Μας δίνεται ένα επίπεδο και μια ευθεία και ζητά να δείξουμε ότι η ευθεία αυτή ανήκει στο

επίπεδο αυτό.

Παρουσιάζω το σχήμα:

: Ευθεία και επίποεδο1.png (31.03 KiB) Προβλήθηκε 1897 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται το επίπεδο $\displaystyle{(p)}$ το οποίο είναι το επίπεδο του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ ,

επίσης φαίνεται το κάθετο διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow{OM}}$ το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο αυτό.

Επίσης βλέπουμε και την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ η οποία σχεδιάστηκε μελετώντας τις παραμετρικές της εξισώσεις.

Το δυναμικό σχήμα το βλέπετε στην υπερσύνδεση:

https://www.geogebra.org/m/rnyg2s9c

Κώστας Δόρτσιος

mathematica.gr

Πέρασμα στο χώρο...(1)

Πέρασμα στο χώρο...(1)

Re: Πέρασμα στο χώρο...(1)

Re: Πέρασμα στο χώρο...(1)

Re: Πέρασμα στο χώρο...(1)

Re: Πέρασμα στο χώρο...(1)