mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 16, 2014 8:50 pm**

Εξεταστές: Χωραφάς - Αναστασιάδης

1. Εαν οι συνεφαπτομένες των γωνιών τριγώνου αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, να δειχθεί οτι και τα τετράγωνα των πλευρών αποτελούν αντίστοιχα διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

2. Τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{R}$ και η γωνία $\displaystyle{\widehat{A}}$ του είναι διπλάσια της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma}}$ . Ζητείται
α) Να εκφρασθούν οι πλευρές του τραπεζίου συναρτήσει της $\displaystyle{R}$ και της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma}}$
β) Να εκφρασθεί η $\displaystyle{\varepsilon\frac{\Gamma}{2}}$ συναρτήσει της $\displaystyle{R}$ και της διαγωνίου $\displaystyle{ (A\Gamma)=\delta }$
(Διερεύνηση)

3. Δίνονται δυο ημιευθείες $\displaystyle{Ox,Oy}$ τεμνόμενες κάθετα και σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ της $\displaystyle{Oy}$ σε απόσταση $\displaystyle{(O\Gamma)=\gamma}$ , όπου $\displaystyle{\gamma}$ δεδομένος αριθμός. Με κορυφή το $\displaystyle{\Gamma}$ και μια πλευρά την $\displaystyle{O\Gamma}$ σχηματίζουμε δυο γωνίες συμπληρωματικές, των οποίων οι άλλες πλευρές τέμνουν την $\displaystyle{Ox}$ στα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{A}$ . Να υπολογιστούν οι εφαπτόμενων των γωνιών αυτών εαν $\displaystyle{ (OB)^2+(OA)^2=\alpha^2}$ , όπου $\displaystyle{\alpha}$ επίσης δεδομένος αριθμός.

4. Δίνεται ημιευθεία $\displaystyle{ Ox}$ και από το σημείο $\displaystyle{O }$ και προς το ίδιο μέρος της, φέρνουμε ημιευθείες $\displaystyle{Oy,Oz}$ οι οποίες σχηματίζουν με την $\displaystyle{Ox }$ γωνίες $\displaystyle{\omega}$ και $\displaystyle{\phi }$ αντίστοιχα ώστε $\displaystyle{\omega<\phi<\frac{\pi}{2}}$ . Πάνω στην $\displaystyle{Ox}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{A }$ και από το $\displaystyle{ A}$ φέρνουμε ευθεία που τέμνει τις $\displaystyle{Oy,Oz}$ στα σημεία $\displaystyle{B, \Gamma}$ αντίστοιχα. Εαν $\displaystyle{(AB)(A\Gamma)=\lambda^2}$ , να υπολογιστεί η γωνία $\displaystyle{\widehat{OAB}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 17, 2014 1:10 am**

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Χωραφάς - Αναστασιάδης

1. Εαν οι συνεφαπτομένες των γωνιών τριγώνου αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, να δειχθεί οτι και τα τετράγωνα των πλευρών αποτελούν αντίστοιχα διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

Έστω $\displaystyle{2\sigma \varphi {\rm B} = \sigma \varphi {\rm A} + \sigma \varphi \Gamma }$ (1)

Θα δείξω ότι $\displaystyle{2{\beta ^2} = {\alpha ^2} + {\gamma ^2}}$

Είναι $\displaystyle{2\alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} = {\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2},2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} = {\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}$ και με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{\alpha }{\beta } \cdot \frac{{\sigma \upsilon \nu {\rm B}}}{{\sigma \upsilon \nu {\rm A}}} = \frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}}}$

Αλλά από το νόμο των ημιτόνων είναι: $\displaystyle{\frac{\alpha }{\beta } = \frac{{\eta \mu {\rm A}}}{{\eta \mu {\rm B}}}}$ .

Άρα: $\displaystyle{\frac{{\eta \mu {\rm A}}}{{\eta \mu {\rm B}}} \cdot \frac{{\sigma \upsilon \nu {\rm B}}}{{\sigma \upsilon \nu {\rm A}}} = \frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}} \Leftrightarrow \frac{{\sigma \varphi {\rm B}}}{{\sigma \varphi {\rm A}}} = \frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$

$\displaystyle{\frac{{\sigma \varphi {\rm A} + \sigma \varphi \Gamma }}{{\sigma \varphi {\rm A}}} = 2\frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}} \Leftrightarrow 1 + \frac{{\sigma \varphi \Gamma }}{{\sigma \varphi {\rm A}}} = 2\frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{1 + \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2} - {\gamma ^2}}}{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}} = 2\frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{2{\beta ^2} = {\alpha ^2} + {\gamma ^2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 17, 2014 9:28 pm**

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Χωραφάς - Αναστασιάδης

1. Εαν οι συνεφαπτομένες των γωνιών τριγώνου αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, να δειχθεί οτι και τα τετράγωνα των πλευρών αποτελούν αντίστοιχα διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

Σήμερα ανοίξαμε το σχολείο έπειτα από τρεις εβδομάδες που ήταν κλειστό λόγω έντονης σεισμικής δραστηριότητας.
Ευτυχώς το σχολείο δεν έπαθε γρατζουνιά....

Θέλω απλώς να γράψω τη λύση που σκέφτηκα μόλις είδα το θέμα.
Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο
$\sigma \varphi A=\frac{\beta ^{2}+\gamma ^{2}-a^{2}}{4E}$ , όπου

το εμβαδόν του τριγώνου , το θέμα γίνεται τετριμμένο. Βέβαια αν ήμουν υποψήφιος του 1962

, θα αφιέρωνα λίγο χρόνο για να αποδείξω τον τύπο αυτόν.Η απόδειξη είναι πολύ απλή....

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 17, 2014 9:54 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Σήμερα ανοίξαμε το σχολείο έπειτα από τρεις εβδομάδες που ήταν κλειστό λόγω έντονης σεισμικής δραστηριότητας.
Ευτυχώς το σχολείο δεν έπαθε γρατζουνιά....

Θέλω απλώς να γράψω τη λύση που σκέφτηκα μόλις είδα το θέμα.
Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο
$\sigma \varphi A=\frac{\beta ^{2}+\gamma ^{2}-a^{2}}{4E}$ , όπου το εμβαδόν του τριγώνου , το θέμα γίνεται τετριμμένο. Βέβαια αν ήμουν υποψήφιος του , θα αφιέρωνα λίγο χρόνο για να αποδείξω τον τύπο αυτόν.Η απόδειξη είναι πολύ απλή....

Καλησπέρα! Γράφω πιο πολύ για να στείλω ένα χαιρετισμό συμπαράστασης στον γείτονα Τηλέμαχο!
Το κούνημα το νιώσαμε έντονα κι εδώ (Κέρκυρα) κι αμέσως καταλάβαμε ότι κάτι συνέβη πιο νότια στα νησιά του Ιονίου. Η ευχή μας ήταν και είναι να ξεπεραστούν σύντομα οι ζημιές και να επανέλθει η ζωή στή φυσιολογική της ροή!

Το Σεπτέμβρη (;) του 1962 ήμουν λίγων ημερών, πάντως λίγο χρόνο για την απλή αποδειξούλα θα αφιερώσω:

Σε τρίγωνο ABC

είναι $\displaystyle E = \frac{{b \cdot c \cdot \eta \mu {\rm A}}}{2} \Leftrightarrow \eta \mu {\rm A} = \frac{{2{\rm E}}}{{b \cdot c}}$

Από Ν. Συνημιτόνων είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2b \cdot c}}$

Οπότε $\displaystyle \sigma \varphi {\rm A} = \frac{{\sigma \upsilon \nu {\rm A}}}{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2b \cdot c}}}}{{\frac{{2E}}{{b \cdot c}}}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4E}}$

mathematica.gr

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ