mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 01, 2014 2:55 pm**

Εξεταστής: Α. Σφήκας

1. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και πάνω στις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα $\displaystyle{AB\Delta E}$ και $\displaystyle{A\Gamma ZH}$ . Φέρνουμε τις $\displaystyle{ EH,\Delta\Gamma}$ και $\displaystyle{BZ}$ . Ζητείται να αποδειχθεί οτι
α) Η από το $\displaystyle{A}$ κάθετη στην $\displaystyle{EH}$ είναι διάμεσος του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$
β) Το σημείο τομής των καθέτων από τα $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ προς τις $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{BZ}$ αντίστοιχα βρίσκεται πάνω στην κάθετο $\displaystyle{AP}$ που άγεται από το $\displaystyle{A}$ προς την $\displaystyle{B\Gamma}$ .
γ) Οι ευθείες $\displaystyle{\Delta\Gamma}$ και $\displaystyle{BZ}$ τέμνονται πάνω στην $\displaystyle{AP}$ .

2. Σε δεδομένο κύκλο $\displaystyle{ (C) }$ τα σημεία $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ είναι σταθερά ενώ το σημείο $\displaystyle{A}$ κινητό. Θεωρούμε τους διχοτόμους της εσωτερικής και εξωτερικής γωνίας $\displaystyle{A}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma }$ και έστω $\displaystyle{M,N}$ και $\displaystyle{M',N'}$ τα σημεία στα οποία τέμνουν αντίστοιχα αυτές τα ύψη του τριγώνου που άγονται από τις κορυφές $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ . Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M,N,M',N' }$ καθώς και των μέσων $\displaystyle{\Sigma}$ και $\displaystyle{ \Sigma' }$ των ευθύγραμμων τμημάτων $\displaystyle{MN }$ και $\displaystyle{ M'N'}$ .

3. Τρεις ίσες σφαίρες με κέντρα $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ εφάπτονται μεταξύ τους ανά δυο και εφάπτονται εσωτερικώς κοίλου ημισφαιρίου $\displaystyle{(\Sigma)}$ ακτίνας $\displaystyle{R}$ . Ζητείται να υπολογιστούν :
α) η κοινή ακτίνα των σφαιρών $\displaystyle{(A),(B),(\Gamma )}$ έτσι ώστε οι σφαίρες αυτές να εφάπτονται επίσης του επιπέδου του κύκλου της βάσης του ημισφαιρίου
β) η ακτίνα $\displaystyle{p' }$ του κύκλου της σφαίρας $\displaystyle{(\Sigma)}$ , ο κύκλος της οποίας διέρχεται από τα σημεία επαφής του ημισφαιρίου με τις σφαίρες $\displaystyle{(A),(B),(\Gamma ) }$ καθώς και η ακτίνα $\displaystyle{p'' }$ του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία επαφής των σφαιρών με το επίπεδο του κύκλου της βάσης του ημισφαιρίου.

4. Δίνεται τετράεδρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ και σημείο $\displaystyle{K}$ εσωτερικά του. Αν οι $\displaystyle{AK,BK,\Gamma K,\Delta K}$ τέμνουν τις απέναντι έδρες στα σημεία $\displaystyle{A',B',\Gamma',\Delta'}$ να δείξετε οτι ισχύει $\displaystyle{ \frac{(A'B'\Gamma'\Delta' )}{3(AB\Gamma\Delta)}=\frac{(KA')(KB')(K\Gamma')(K\Delta')}{(KA)(KB)(K\Gamma)(K\Delta)}}$

Σημείωση: Το 1ο θέμα έπεσε και στις εξετάσεις Αρχιτεκτόνων ΕΜΠ (εδώ)

mathematica.gr

ΕΜΠ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

ΕΜΠ 1962 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ