mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 20, 2009 11:40 am**

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f : R-{0} -> R, οι οποίες ικανοποιούν τη συναρτησιακή εξίσωση:

$\displaystyle{ f(x) + f(x^2 ) = f(\frac{1}{x}) + f(\frac{1}{{x^2 }}),x \ne 0 }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 20, 2009 1:08 pm**

Μία ομάδα συναρτήσεων που την ικανοποιούν είναι οι σταθερές.
Άλλο δεδομένο δεν έχουμε ε;;;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 20, 2009 7:46 pm**

chris_gatos έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f : R-{0} -> R, οι οποίες ικανοποιούν τη συναρτησιακή εξίσωση:

$\displaystyle{ f(x) + f(x^2 ) = f(\frac{1}{x}) + f(\frac{1}{{x^2 }}),x \ne 0 }$

Χρήστο, σίγουρα μπορούμε να τις περιγράψουμε όλες; Μου φαίνονται πάρα πολλές.
Ας δούμε παραδείγματα, πέρα από τις σταθερές

1) f(1) = c, f(x) = 0 αλλιώς.

2) f(q) = c αν $q \in \mathbb Q- \{0\}, \;$ f(x) = 0 αλλιώς.

3) f(2^n) = c

αν $n \in \mathbb Z$ , f(x) = 0 αλλιώς.

4) f(2^n) = c

αν $n \in \mathbb Z - \{0\}$ , f(x) = 0 αλλιώς.

5) f(2^n) = c

αν $n \in \mathbb Q$ , f(x) = 0 αλλιώς.

6) f(2^n) = c

αν $n \in \mathbb Q - \{0\}$ , f(x) = 0 αλλιώς.

7) ομοίως με τα 4), 5), 6) αλλά με 3 στη θέση του 2.

8) f(2^n) = c_1, f(3^n) = c_2

αν $n \in \mathbb Z$ , f(x) = 0 αλλιώς.

9) παραλλαγή του 8) αλλά με διαφορετικό σύνολο αναφοράς (π.χ. όπως στα 4), 5), 6).

10) $f(\pi ^n) = c$ αν $n \in \mathbb Z$ , f(x) = 0 αλλιώς.

11) $f(\pi ^n) = c_1, f(2^n) = c_2$ αν $n \in \mathbb Z$ , f(x) = 0 αλλιώς

και λοιπά και λοιπά.

Μήπως θέλουμε και άλλη συνθήκη; Π.χ. συνέχεια;

Φιλικά,

Μιχάλης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 20, 2009 9:22 pm**

Κι εμένα με έχει παραξενέψει ως εκφώνηση,αλλά αυτό ακριβώς λέει. Γι'αυτό την έδωσα κιόλας.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 20, 2009 10:41 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f : R-{0} -> R, οι οποίες ικανοποιούν τη συναρτησιακή εξίσωση:

$\displaystyle{ f(x) + f(x^2 ) = f(\frac{1}{x}) + f(\frac{1}{{x^2 }}),x \ne 0 }$
Χρήστο, σίγουρα μπορούμε να τις περιγράψουμε όλες; Μου φαίνονται πάρα πολλές.
Ας δούμε παραδείγματα, πέρα από τις σταθερές

1) f(1) = c, f(x) = 0 αλλιώς.

2) f(q) = c αν $q \in \mathbb Q- \{0\}, \;$ f(x) = 0 αλλιώς.

3) αν $n \in \mathbb Z$ , f(x) = 0 αλλιώς.

4) αν $n \in \mathbb Z - \{0\}$ , f(x) = 0 αλλιώς.

5) αν $n \in \mathbb Q$ , f(x) = 0 αλλιώς.

6) αν $n \in \mathbb Q - \{0\}$ , f(x) = 0 αλλιώς.

7) ομοίως με τα 4), 5), 6) αλλά με 3 στη θέση του 2.

8) αν $n \in \mathbb Z$ , f(x) = 0 αλλιώς.

9) παραλλαγή του 8) αλλά με διαφορετικό σύνολο αναφοράς (π.χ. όπως στα 4), 5), 6).

10) $f(\pi ^n) = c$ αν $n \in \mathbb Z$ , f(x) = 0 αλλιώς.

11) $f(\pi ^n) = c_1, f(2^n) = c_2$ αν $n \in \mathbb Z$ , f(x) = 0 αλλιώς

και λοιπά και λοιπά.

Μήπως θέλουμε και άλλη συνθήκη; Π.χ. συνέχεια;

Φιλικά,

Μιχάλης

Και το κυριότερο είναι πώς θα αποδειχθεί ότι είναι μόνον αυτές, αν πρόκειται να βρεθούν έτσι περιγραφικά...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 21, 2009 1:46 pm**

Η συνθήκη γράφεται f(x) - f(1/x) = - (f(x^2) - f(1/x^2))

.

Για

ορίζουμε $x \sim y$ αν και μόνο αν $\displaystyle{\frac{\log{x}}{\log{y}} = 2^m }$ για κάποιο $m \in \mathbb{Z}$ .

Η $\sim$ είναι σχέση ισοδυναμίας. Για κάθε κλάση ισοδυναμίας παίρνουμε από το αξίωμα της επιλογής ένα εκπρόσωπο.

Αν x,y > 1

και $\displaystyle{\frac{\log{x}}{\log{y}} = 2^m }$ για κάποιο $m \in \mathbb{Z}$ τότε η συνθήκη δίνει $f(x) - f(1/x) = (-1)^m\left(f(y) - f(1/y) \right)$

Παρατηρούμε επίσης ότι πρέπει f(x) - f(1/x) = f(-x) - f(-1/x)

.

Ορίζουμε την συνάρτηση

ως εξής:

- Αυθαίρετα στο $[-1,0) \cup (0,1]$ .
- Αυθαίρετα για κάθε

που είναι εκπρόσωπος μιας από τις πιο πάνω κλάσεις ισοδυναμίας
- Αν y > 1

και

είναι ο εκπρόσωπος της κλάσης ισοδυναμίας του

, τότε ορίζουμε f(y) := (-1)^m (f(x) - f(1/x)) + f(1/y)

όπου $\displaystyle{\frac{\log{x}}{\log{y}} = 2^m }$ . (Έχουμε ήδη ορίσει την

στα

.)
- Αν

ορίζουμε

.

Κάθε τέτοια

ικανοποιεί την συνθήκη. Αντίστροφα κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί την συνθήκη πρέπει να κατασκευάζεται όποιος πιο πάνω αφού όπου δεν έχουμε ορίσει τις τιμές της αυθαίρετα, ήμασταν αναγκασμένοι να την ορίσουμε έτσι.

mathematica.gr

Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.

Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.

Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.

Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.

Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.

Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.

Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.