mathematica.gr

Θεωρούμενα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Στην πλευρά του ΑΒ παίρνουμε ένα σημείο Μ και στην πλευρά του ΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Ν και υποθέτουμε ότι καθένα από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΝ και ΓΜ χωρίζει το τετράπλευρο ΑΒΓΔ σε δύο μέρη με ίσα εμβαδά. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΝ διέρχεται από το μέσον της διαγωνίου ΒΔ.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμενα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Στην πλευρά του ΑΒ παίρνουμε ένα σημείο Μ και στην πλευρά του ΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Ν και υποθέτουμε ότι καθένα από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΝ και ΓΜ χωρίζει το τετράπλευρο ΑΒΓΔ σε δύο μέρη με ίσα εμβαδά. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΝ διέρχεται από το μέσον της διαγωνίου ΒΔ.

(... Καλά, πρωί - πρωϊ και με συνάχι, άντε να κάνεις γεωμετρία !)

Λοιπόν , έστω ότι η παράλληλη από το Δ προς την ΑΓ τέμνει τις ευθείες ΒΓ,ΒΑ στα σημεία Ε, Ζ αντίστοιχα.Προφανώς είναι
- (ΑΔΓ) = (ΑΕΓ) , (ΑΔΓΝ) = (ΑΕΝ) και έτσι (ΑΒΝ) = (ΑΔΓΝ) = (ΑΕΝ).Συνεπώς το Ν είναι μέσο του ΒΕ.

Όμοια , το Μ είναι μέσο του ΒΖ :

[ είναι (ΑΔΓ)=(ΑΖΓ) ,οπότε (ΜΑΔΓ) = ( ΜΖΓ) και τελικά (ΓΒΜ)=(ΓΜΑΔ)=(ΓΜΖ)]

Επομένως στο τρίγωνο ΒΕΖ το τμήμα ΜΝ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του. Άρα αυτό διέρχεται και από το μέσο του τμήματος ΒΔ που ενώνει την κορυφή Β με το σημείο Δ της πλευράς ΖΕ.

Μπάμπης

Καλησπέρα

Ονομάζουμε Κ το σημείο τομής της ΜΝ με την ΒΔ. Υποθέτουμε ότι το Κ δεν είναι το μέσο της ΒΔ και ότι ΒΚ > ΚΔ (ομοίως αν ΒΚ < ΚΔ). Τότε:

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε:

δηλαδή

\displaystyle{\displaystyle{
\Rightarrow ({\rm N}{\rm E}\Gamma ) + ({\rm K}{\rm E}{\rm N}) > ({\rm A}{\rm K}{\rm E}) + ({\rm K}{\rm E}{\rm N}) \Rightarrow ({\rm K}\Gamma {\rm N}) > ({\rm A}{\rm K}{\rm N}) \Rightarrow \Gamma \Gamma _1 > {\rm A}{\rm A}_1 (3)}\displaystyle{
(2) \Rightarrow ({\rm M}{\rm B}\Gamma {\rm K}{\rm Z}) + ({\rm A}{\rm M}{\rm Z}) > ({\rm M}{\rm B}\Gamma {\rm K}{\rm Z}) + ({\rm Z}{\rm K}\Gamma ) \Rightarrow ({\rm A}{\rm M}{\rm Z}) > ({\rm Z}{\rm K}\Gamma )}}

Από (3) και (4) είναι προφανές ότι έχουμε καταλήξει σε άτοπο. Άρα το Κ είναι το μέσο της ΒΔ.

Γιώργος

Πολύ ωραίες και "περίεργες" λύσεις, μπορούμε να αξιοποιήσουμε ότι η ΜΝ//ΑΓ για να το αποδείξουμε; Μήπως έτσι πέφτουμε στην λύση του Μπάμπη;

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Πολύ ωραίες και "περίεργες" λύσεις, μπορούμε να αξιοποιήσουμε ότι η ΜΝ//ΑΓ για να το αποδείξουμε; Μήπως έτσι πέφτουμε στην λύση του Μπάμπη;

Είναι Άρα οπότε ΑΓ//ΜΝ.
Έστω Θ, Η οι προβολές του Δ στις ΑΓ, ΜΝ, Ι η προβολή του Ν στην ΑΓ, Ζ και Ε οι προβολές του Β στις ΑΓ, ΜΝ.


Άρα ΔΗ=ΒΕ οπότε τα τρίγωνα ΔΟΗ και ΒΟΕ είναι ίσα. Επομένως ΔΟ=ΟΒ, δηλαδή το Ο είναι το μέσο του ΒΔ.

Παύλο κάτι τέτοιο ήθελα αλλά δεν το έβλεπα, πολύ ωραία η λύση σου!Σε ευχαριστώ για την ανταποκρισή σου!!