mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 20, 2014 11:09 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^2+yh(x))=xh(x)+f(xy) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 21, 2014 3:23 pm**

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

$\bullet$ Αν h(1)=0

, τότε για x=1

, έχουμε:

, άρα η

είναι σταθερή.

Έστω f(x)=c

, τότε $c=xh(x)+c\iff xh(x)=0$ , άρα $h(x)=\begin{cases}0\;,\;x\neq 0\\c_1\;,\;x=0\end{cases}$ .

$\bullet$ Αν $a=h(1)\neq 0$ , τότε για x=1

, έχουμε:

.

Αν $a\neq 1$ , τότε για $y=\dfrac{1}{1-a}$ έχουμε

$f\left(1+\dfrac{a}{1-a}\right)=a+f\left(\dfrac{1}{1-a}\right)\iff$

$\iff f\left(\dfrac{1}{1-a}\right)=a+f\left(\dfrac{1}{1-a}\right)\iff a=0$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα a=1

και τότε $f(1+y)=1+f(y)\;\;(1)$ .

Επίσης αν $h(0)\neq 0$ , τότε για x=0

έχουμε

και για $x=\dfrac{y}{h(0)}: f(x)=f(0)$ άρα η (1)

δίνει

ΑΤΟΠΟ.

Επομένως h(0)=0

.

Αν υπάρχει $x\in\Bbb{R}^*$ ώστε $h(x)\neq x$ , τότε για $y=\dfrac{x^2}{h(x)-x}$ στην αρχική , έχουμε:

$f\left(x^2+\dfrac{x^2}{x-h(x)}h(x)\right)=xh(x)+f\left(x\dfrac{x^2}{x-h(x)}\right)\iff$

$\iff f\left(\dfrac{x^3}{x-h(x)}\right)=xh(x)+f\left(\dfrac{x^3}{x-h(x)}\right)\iff xh(x)=0$ , ΑΤΟΠΟ αφού h(1)=1

.

Άρα $h(x)=x\;\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Τότε $f(x^2+yx)=x^2+f(xy)\;\;(2)$ .

Για $y=\dfrac{1}{x}\;,\;x,y\neq 0$ έχουμε $f(x^2+1)=x^2+f(1)\overset{(1)}{\iff}1+f(x^2)=x^2+f(1)\iff f(x^2)=x^2+f(1)-1$ , άρα για κάθε x>0