mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 20, 2014 11:10 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(y))+f(yf(z))+f(zf(x))=xy+yz+zx,

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 20, 2014 11:35 pm**

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

$x=y=z=0\quad (1)\Rightarrow f(0)=0$

$z=0\quad (1)\Rightarrow f(xf(y))=xy\stackrel{x=1}\Longrightarrow f(f(y))=y ,y\in \mathbb R\quad f:1-1$

$z=1\quad (1)\Rightarrow f(xf(y))+f(yf(1))=xy+y\stackrel{x=0}\Longrightarrow f(y)=yf(1)$

$f(y)=ay,a=f(1),y\in \mathbb R$

$(1)\Rightarrow a^2(xy+yz+zx)=(xy+yz+zx)\Rightarrow a=1 \quad \eta\quad a=-1$

άρα $f(x)=x,x\in \mathbb R$ , $f(x)=-x,x\in \mathbb R$ ικανοποιούν την (1)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 12, 2014 11:49 pm**

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=565806

mathematica.gr

Συναρτησιακή εξίσωση (μζ)

Συναρτησιακή εξίσωση (μζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (μζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (μζ)