mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 24, 2014 2:43 pm**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+f(x)+2f(y))=2x+y+f(y) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 25, 2014 9:31 am**

Έστω

$\displaystyle{\boxed{f\left( {x + f\left( x \right) + 2f\left( y \right)} \right) = 2x + y + f\left( y \right)}}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$

η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.

Θέτουμε $\displaystyle{x = 0}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{f\left( {f\left( 0 \right) + 2f\left( y \right)} \right) = y + f\left( y \right)}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ . Από τη σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ προκύπτει ότι η

είναι 1-1: πράγματι, για $y_1, y_2 \in \mathbb{R}$ είναι

$\displaystyle{f\left( {{y_1}} \right) = f\left( {{y_2}} \right) \Rightarrow f\left( {f\left( 0 \right) + 2f\left( {{y_1}} \right)} \right) - f\left( {{y_1}} \right) = f\left( {f\left( 0 \right) + 2f\left( {{y_2}} \right)} \right) - f\left( {{y_2}} \right) \Rightarrow {y_1} = {y_2}.}$

Θέτουμε τώρα y =0

στη σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{f\left( {3f\left( 0 \right)} \right) = f\left( 0 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f:1 - 1} 3f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \boxed{f\left( 0 \right) = 0}}$

και άρα η σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ γράφεται

$\displaystyle{f\left( {2f\left( y \right)} \right) = y + f\left( y \right)}$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)$

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ .

Επίσης, θέτοντας y=0

στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{f\left( {x + f\left( x \right)} \right) = 2x}$ $\bf \color{red} \left( 3 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Από τις σχέσεις $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ και $\bf \color{red} \left(3 \right)$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{f\left( {f\left( {2f\left( y \right)} \right)} \right) = f\left( {y + f\left( y \right)} \right) = 2y}$ $\bf \color{red} \left(4 \right)$

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ .

Θέτουμε y =-2x

στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ , οπότε είναι

$\displaystyle{f\left( {x + f\left( x \right) + 2f\left( { - 2x} \right)} \right) = f\left( { - 2x} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f:1 - 1} x + f\left( x \right) + 2f\left( { - 2x} \right) = - 2x \Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow f\left( x \right) + 2f\left( { - 2x} \right) = - 3x}$ $\bf \color{red} \left(5 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Θέτουμε στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ όπου

το $\displaystyle{f\left( {2f\left( y \right)} \right),}$ οπότε προκύπτει ότι:

$\displaystyle{f\left( {x + f\left( x \right) + 2f\left( {f\left( {2f\left( y \right)} \right)} \right)} \right) = 2x + f\left( {2f\left( y \right)} \right) + f\left( {f\left( {2f\left( y \right)} \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right)} }$

$\displaystyle{f\left( {x + f\left( x \right) + 4y} \right) = 2x + f\left( {2f\left( y \right)} \right) + y}$ $\bf \color{red} \left(6 \right)$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Θέτουμε x =0

στη σχέση $\bf \color{red} \left(6 \right)$ και βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{f\left( {4y} \right) = f\left( {2f\left( y \right)} \right) + 2y \Rightarrow f\left( {4y} \right) - 2y = f\left( {2f\left( y \right)} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow f\left( {f\left( {4y} \right) - 2y} \right) = f\left( {f\left( {2f\left( y \right)} \right)} \right)\mathop = \limits^{\left( 4 \right)} 2y\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} f\left( {y + f\left( y \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{f:1 - 1} f\left( {4y} \right) - 2y = y + f\left( y \right)}$

και άρα

$\displaystyle{f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 3x}$ $\bf \color{red} \left(7 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Με πρόσθεση των σχέσεων $\bf \color{red} \left(5 \right)$ και $\bf \color{red} \left(7 \right)$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{f\left( {4x} \right) + 2f\left( { - 2x} \right) = 0}$ $\bf \color{red} \left(8 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Θέτοντας όπου

το $\displaystyle{ - \frac{x}{2}}$ στη σχέση $\bf \color{red} \left(8 \right)$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{f\left( { - 2x} \right) + 2f\left( x \right) = 0}$ $\bf \color{red} \left(9 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Από τις σχέσεις $\bf \color{red} \left(5 \right)$ και $\bf \color{red} \left(9 \right)$ έχουμε ότι

$\displaystyle{f\left( x \right) - 4f\left( x \right) = - 3x,}$

οπότε τελικά $\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = x}}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , συνάρτηση που προφανώς επαληθεύει τη δοσμένη συναρτησιακή σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .