mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 27, 2014 9:23 pm**

Αν $\displaystyle{m,n>1}$ ακέραιοι, να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση

$\displaystyle{x^n+y^n=2^m.}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 29, 2014 2:57 pm**

Μια λύση που κάναμε μαζί με τον Μιχάλη Σαράντη(Mikesar).
Eλπίζω να μην μας έχει ξεφύγει κάτι!!

x^n+y^n=2^m

(*)
Έστω

τοτε

,

με

και

περιττοί.
Η (*) γίνεται :
d^n(a^n+b^n)=2^m

άρα

και

με

,

ακεραίους και k+l=m

1) Αν n άρτιος
$a^n\equiv 1(mod8)$
$b^n\equiv 1(mod8)$
άρα $2^l\equiv 2(mod8)$ , αυτό ισχύει μόνο για l=1

για

έχω

(1) και
$d^n=2^{m-1}\Rightarrow d=\sqrt[n]{2^{m-1}}$
επειδή

είναι ακέραιος πρέπει n|m-1

έστω $\frac{m-1}{n}=s\Rightarrow m=ns+1$
από την (1) προκύπτει ότι
$a=\pm 1$ , $b=\pm 1$ αρα
$x=\pmd=\pm 2^s$ και
$y=\pmd=\pm 2^s$
Επομένως για

άρτιο $(x,y,m)=(\pm2^s,\pm2^s,ns+1)$

2) Αν

περιττός
$a^n+b^n=2^l\Rightarrow (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})=2^l$
Όμως το $a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1}$ δεν μπορεί να είναι άρτιος γιατί a,b

είναι περιττοί.
Επομένως $a+b=2^l\Rightarrow a=2^l-b$
Αρα $a^n+b^n=2^l\Rightarrow 2^{ln}-n(2^l)^{n-1}b+...-b^n+b^n=2^l\Rightarrow 2^{ln-1}-...+b^{n-1}=2^{l-1}$
Όμως όλοι οι όροι του αθροίσματος είναι άρτιοι εκτός από το $nb^{n-1}$ . Άρα πρέπει l-1=0