mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 31, 2014 2:48 pm**

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1).}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 15, 2014 11:44 am**

matha έγραψε:Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1).}$

Καλημέρα στο

και σε όλους τους αναγνώστες του έπειτα από πολύ καιρό.
Ας ξεκινήσουμε...:
Για x=y

παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει ακέραια λύση (καταλήγουμε στη σχέση: $x-6=\dfrac {2} {x^2},~x\neq 0$ η οποία προφανώς δεν έχει λύση στους ακεραίους), οπότε $x\neq y ~(\star)$ .
$x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1) \Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y)=4(x^2+2xy+y^2+x^2+y^2+2) \Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y)=4(x^2+y^2)+4\left [(x+y)^2+2 \right] \Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y-4)=4\left [(x+y)^2+2 \right]~(1)$ .
Από την (1), με σχετική διερεύνηση, καταλαβαίνουμε ότι οι άγνωστοι πρέπει να έχουν το ίδιο parity (να είναι και οι δύο είτε άρτιοι είτε περιττοί).
Έπειτα, έχουμε:
$2(x^2+y^2)\dfrac {x+y-4} {2}=4\left [(x+y)^2+2 \right] \Leftrightarrow \left [(x+y)^2+(x-y)^2 \right]\dfrac {x+y-4} {2}=4\left [(x+y)^2+2 \right] \Leftrightarrow \boxed {\dfrac {x+y-4} {2}=4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2}=A}$ .
Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι $(x-y)^2\geq 4$ , αφού οι περιπτώσεις $x-y=\pm 1$ (λόγω parity) και x-y=0

(από $(\star)$ ) απορρίπτονται.
Συνεπώς: $0 <4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2} < 4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+2}=4 \Leftrightarrow \boxed {0<A<4}$
ΛΑΘΟΣ-Edit:6/07/2014 Επιπροσθέτως, λόγω και πάλι του parity, ισχύει $x+y-4=4k \Leftrightarrow 2A=4k \Leftrightarrow A=2k \Leftrightarrow A=2$ (αν x,y

άρτιοι είναι προφανές, αλλιώς δουλεύοντας με mod8 στη σχέση (1) τα ζεύγη $(x,y)=(4k\pm 1,4l\pm 1)$ δε γίνονται αποδεκτά, δηλαδή $(x,y)=(4k \pm 1,4l \mp 1)$ και καταλήγουμε στο προαναφερθέν συμπέρασμα).-ΛΑΘΟΣ
Για A=1

βρίσκουμε:
$\dfrac {x+y-4} {2}=1 \Leftrightarrow x+y=6 \Leftrightarrow \boxed {x=6-y}$
$4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2}=1 \Leftrightarrow (x+y)^2+(x-y)^2=4(x+y)^2+8 \Leftrightarrow 3(x+y)^2-(x-y)^2+8=0 \Leftrightarrow x^2+4xy+y^2+4=0 \Leftrightarrow (x+y)^2+4+2xy=0 \Leftrightarrow 2xy+40=0 \Leftrightarrow \boxed {xy=-20} \Leftrightarrow (6-y)y=-20 \Leftrightarrow 6y-y^2=-20 \Leftrightarrow y^2-6y-20=0 \Leftrightarrow \Delta=116$
, άτοπο (έπρεπε η διακρίνουσα να ήταν τέλειο τετράγωνο)
Για A=2

βρίσκουμε:
$\dfrac {x+y-4} {2}=2 \Leftrightarrow x+y=8 \Leftrightarrow \boxed {x=8-y}$
$4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2}=2 \Leftrightarrow 2(x+y)^2+2(x-y)^2=4(x+y)^2+8 \Leftrightarrow 2(x+y)^2-2(x-y)^2+8=0 \Leftrightarrow 8xy+8=0 \Leftrightarrow \boxed {xy=-1} \Leftrightarrow x=\pm 1, y=\mp 1$
, άτοπο.
Για A=3

βρίσκουμε:
$\dfrac {x+y-4} {2}=3 \Leftrightarrow x+y=10 \Leftrightarrow \boxed {x=10-y}$
$4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2}=3 \Leftrightarrow 3(x+y)^2+3(x-y)^2=4(x+y)^2+8 \Leftrightarrow 3(x-y)^2-(x+y)^2-8=0 \Leftrightarrow x^2-4xy+y^2-4=0 \Leftrightarrow (x+y)^2-6xy-4=0 \Leftrightarrow -6xy+96=0 \Leftrightarrow \boxed {xy=16} \Leftrightarrow (10-y)y=16 \Leftrightarrow y^2-10y+16=(y-8)(y-2)=0 \Leftrightarrow y=2, x=8~or~y=8,x=2$
Οπότε η εξίσωση έχει μοναδικές λύσεις (x,y)=(2,8)=(8,2)