mathematica.gr

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ότι υπάρχει σημείο Δ στην πλευρά ΒΓ , ώστε ΑΔ = ΒΓ. Αν ΔΕ,ΔΖ είναι διχοτόμοι των γωνιών ΑΔΒ, ΑΔΓ αντίστοιχα ,

να αποδειχθεί ότι η ΕΖ διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

Μπάμπης

Η απόδειξη μου βασίζεται στο παρακάτω λήμμα (υπάρχει και στο σχολικό βιβλίο, νομίζω).
Έστω μια ευθεία που τέμνει τις πλευρές AB, ΑC ενός τριγώνου στα Ε και Ζ. Η ευθεία αυτή διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου αν και μόνο αν

Εδώ είναι: , άρα η ευθεία περνά από το βαρύκεντρο.

Dreamkiller έγραψε:Η απόδειξη μου βασίζεται στο παρακάτω λήμμα (υπάρχει και στο σχολικό βιβλίο, νομίζω).
Έστω μια ευθεία που τέμνει τις πλευρές AB, ΑC ενός τριγώνου στα Ε και Ζ. Η ευθεία αυτή διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου αν και μόνο αν

Εδώ είναι: , άρα η ευθεία περνά από το βαρύκεντρο.

Πρόκειται για ένα χρήσιμο Λήμμα, αλλά αυτό, όπως και με κάθε λήμμα, στις ολυμπιάδες πρέπει να αποδειχθεί. Δεν υπάρχει λυμένο ή ως θεώρημα σε σχολικό βιβλίο(ως άσκηση είναι άλλο πράγμα).

Στην ουσία, όλη η άσκηση , ταυτίζεται με το λήμμα. Αυτός είναι και ο λόγος που την έδωσα. Τέθηκε το 2009 σε μαθηματικό διαγωνισμό.

Μπάμπης

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τα σημεία τομής των πλευρών του αντιστοίχως, από τυχαία ευθεία που περνάει από το βαρύκεντρό του Αποδείξτε ότι αληθεύει η ισότητα .

Απόδειξη. - Δια των κορυφών του δοσμένου τριγώνου έρνουμε τις παράλληλλες ευθείες προς την ευθεία οι οποίες τέμνουν την ευθεία όπου είναι το μέσον της πλευράς στα σημεία αντιστοίχως.

Από και σύμφωνα με το θεώρημα Θαλή, έχουμε ότι

Από

Από

Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Εύκολα αποδεικνύεται και το αντίστροφο. Αν δηλαδή ισχύει η , τότε η ευθεία περνάει από το βαρύκεντρο του

Καλή Χρονιά σε όλους τους φίλους του , Κώστας Βήττας.

Απλά να προσθέσω και εγώ πως το λήμμα αυτό βρίσκεται και σαν άσκηση στο σχολικό βιβλίο σελίδα 164 άσκηση 2 των γενικών ασκήσεων.

Καλή χρονιά και από εμένα!!!