mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 22, 2014 3:44 pm**

Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

: Γεωμετρια mathematica_74.PNG (9.02 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 22, 2014 4:25 pm**

gavrilos έγραψε:Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

Γεωμετρια mathematica_74.PNG
Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.

Όντως ωραία άσκηση. Νομίζω ότι η σχέση ισχύει γενικότερα αν το

είναι σημείο του

και μαλιστα ισχύει και το αντίστροφο αν για το σημείο

ισχύει παραπάνω σχέση τότε θα βρίσκεται στο τμήμα που ορίζουν
τα ίχνοι των διχοτόμων.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 22, 2014 5:44 pm**

gavrilos έγραψε:Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

Το συνημμένο Γεωμετρια mathematica_74.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.

Καλησπέρα σε όλους.

Έστω E_1, N, D_1

οι προβολές των σημείων E,M,D

αντίστοιχα, πάνω στη

,

οι προβολές αντίστοιχα των σημείων M,E

στην

και

οι προβολές των σημείων M,D

αντίστοιχα πάνω στην

.

Είναι $\displaystyle{MK = \frac{{E{E_2}}}{2},ML = \frac{{D{D_2}}}{2} \Rightarrow }$ $\boxed{MK + ML = \frac{{E{E_2} + D{D_2}}}{2}}$ (1)

$\displaystyle{MN = \frac{{E{E_1} + D{D_1}}}{2}}$ (διάμεσος τραπεζίου)

Αλλά, $\displaystyle{E{E_1} = E{E_2},D{D_1} = D{D_2}}$ (απόσταση σημείου της διχοτόμου από τις πλευρές γωνίας).

Από αυτές τις σχέσεις και από την (1)

προκύπτει ότι $\boxed{MN=MK+ML}$

: Άθροισμα τμημάτων.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Αυτά για την περίπτωση που το

είναι μέσο της

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 22, 2014 6:57 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε:
gavrilos έγραψε:Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

Το συνημμένο Γεωμετρια mathematica_74.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.
Όντως ωραία άσκηση. Νομίζω ότι η σχέση ισχύει γενικότερα αν το είναι σημείο του και μαλιστα ισχύει και το αντίστροφο αν για το σημείο ισχύει παραπάνω σχέση τότε θα βρίσκεται στο τμήμα που ορίζουν
τα ίχνοι των διχοτόμων.

Αν το

είναι τυχαίο σημείο της

.
Χρησιμοποιώ τα δεδομένα της παραπάνω δημοσίευσης στο σχήμα.

● Έστω $\displaystyle{\frac{{MK}}{{E{E_2}}} = \frac{{MD}}{{DE}} = \lambda \Leftrightarrow MK = \lambda E{E_2}}$

Οπότε θα είναι $\displaystyle{\frac{{ML}}{{D{D_2}}} = \frac{{ME}}{{DE}} = 1 - \lambda \Leftrightarrow ML = \lambda D{D_2}}$

Άρα $MK+ML=\lambda EE_2+(1-\lambda)DD_2$ $=\lambda EE_1+(1-\lambda)DD_1$

● Φέρνω την DE_1

που τέμνει την

στο σημείο

.

$\displaystyle{\frac{{MF}}{{E{E_1}}} = \frac{{DM}}{{DE}} = \lambda \Leftrightarrow MF = \lambda E{E_1}}$ και ομοίως έχουμε $\displaystyle{FN = (1 - \lambda )D{D_1}}$
Οπότε $\displaystyle{MN = MF + FN = \lambda E{E_1} + (1 - \lambda )D{D_1}}$

Άρα: $\boxed{MN=MK+ML}$

: Άθροισμα τμημάτων.2.png (14.2 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 23, 2014 2:03 am**

Al.Koutsouridis έγραψε:
gavrilos έγραψε:Μιας και αύριο τελειώνουν οι εξετάσεις με Γεωμετρία,ας προτείνω άλλη μια απλή,όμορφη άσκηση.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και οι διχοτόμοι $\displaystyle{BD,CE}$ .Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσο της $\displaystyle{ED}$ .Να αποδείξετε ότι η απόσταση του $\displaystyle{M}$ από την $\displaystyle{BC}$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστάσεών του από τις $\displaystyle{AB,AC}$ .

Το συνημμένο Γεωμετρια mathematica_74.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υ.Γ. Η πηγή ίδια με τη χτεσινή.
Όντως ωραία άσκηση. Νομίζω ότι η σχέση ισχύει γενικότερα αν το είναι σημείο του και μαλιστα ισχύει και το αντίστροφο αν για το σημείο ισχύει παραπάνω σχέση τότε θα βρίσκεται στο τμήμα που ορίζουν
τα ίχνοι των διχοτόμων.