mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 15, 2014 8:10 pm**

: διχοτόμος απο μετρική.png (8.79 KiB) Προβλήθηκε 771 φορές

Σε ευθεία θεωρούμε κατά σειρά τα σημεία A,B,C,D

για τα οποία $A{C^2} = AB \cdot AD$ .

Σε ,άλλη, ευθεία που διέρχεται από το

θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε AT = AC

.

Δείξετε ότι η

διχοτομεί την γωνία $B\widehat TD$ .

Νίκος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 15, 2014 8:57 pm**

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο διχοτόμος απο μετρική.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε ευθεία θεωρούμε κατά σειρά τα σημεία για τα οποία $A{C^2} = AB \cdot AD$ .

Σε ,άλλη, ευθεία που διέρχεται από το θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε .

Δείξετε ότι η διχοτομεί την γωνία $B\widehat TD$ .

Νίκος

Γεια σου Νίκο.

$\displaystyle{A{C^2} = AB \cdot AD \Leftrightarrow A{T^2} = AB \cdot AD}$ . Άρα η

είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου TBD

, οπότε τα τρίγωνα ATB, ATD

είναι όμοια.

Άρα: $\displaystyle{\frac{{AB}}{{AT}} = \frac{{TB}}{{TD}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{AT = AC} }$ $\boxed{\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{TB}}{{TD}}}$ (1)

: Ασταθής διχοτόμος.png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

$\displaystyle{A{C^2} = AB \cdot AD \Leftrightarrow AC(AB + BC) = AB(AC + CD) \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BC}}{{CD}}}$ (2)

Από

: $\boxed{\frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{TB}}{{TD}}}$ , άρα η

διχοτομεί την γωνία $B\widehat TD$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 15, 2014 9:09 pm**

$A{C^2} = AB \cdot AD \Leftrightarrow A{T^2} = AB \cdot AD$
Άρα η

είναι εφαπτόμενη του περιγεγραμμέμου κύκλου του τριγώνου BTD

.

$\begin{array}{l} \angle ATB = \angle TDB = \varphi \\ AT = AC \Rightarrow \angle ATC = \angle ACT \Leftrightarrow \varphi + \angle BTC = \varphi + \angle CTD \Leftrightarrow \angle BTC = \angle CTD \end{array}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 15, 2014 9:26 pm**

Είναι

και

, άρα

, άρα

εφαπτομένη του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία B,T,D

.

Είναι $A \widehat{T}C=A \widehat{C}T$ (τρίγωνο $\triangle ACT$ ισοσκελές) και $A \widehat{T}B$ (γωνία εφαπτομένης

και χορδής

)= $B \widehat{D}T$ (γωνία που βλέπει στο τόξο

)

Είναι $B \widehat{T}C=A \widehat{T} C-A \widehat{T}B=A \widehat{C}T-B \widehat{D} T=C\widehat{T} D$

Είναι λοιπόν $B \widehat{T} C=C \widehat{T} D$ και το ζητούμενο εδείχθη.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 15, 2014 9:45 pm**

Doloros έγραψε:
διχοτόμος απο μετρική.png
Σε ευθεία θεωρούμε κατά σειρά τα σημεία για τα οποία $A{C^2} = AB \cdot AD$ .

Σε ,άλλη, ευθεία που διέρχεται από το θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε .

Δείξετε ότι η διχοτομεί την γωνία $B\widehat TD$ .

Νίκος

..καλησπέρα..

$\displaystyle AC^{2}=AB\cdot AD\Rightarrow AT^{2}=AB\cdot AD\Rightarrow \frac{AT}{AD}=\frac{AB}{AT}$ .Αυτή η σχέση σε συνδυασμό με το ότι: $\hat{TAD}=\hat{TAB}\Rightarrow \bigtriangleup ATD\approx \bigtriangleup ATB\Rightarrow \hat{ABT}=\hat{ATD}\,\,\,(1)$ . Επίσης αφού $AT=AC\Rightarrow \hat{ATC}=\hat{ACT}\,\,\,\,(2)$ .

Άρα $\hat{BTC}=\hat{ABT}-\hat{BCT}=\hat{ATD}-\hat{ATC}=\hat{CTD}\Rightarrow TC$ διχοτόμος της $\hat{ATD}$

mathematica.gr

Ασταθής διχοτόμος

Ασταθής διχοτόμος

Re: Ασταθής διχοτόμος

Re: Ασταθής διχοτόμος

Re: Ασταθής διχοτόμος

Re: Ασταθής διχοτόμος